Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°．現(xiàn)把梯形ABCO放置在平面直角坐標(biāo)系中，使點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，OC在x軸正半軸上，點(diǎn)A、B在第一象限內(nèi)．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥EF交OC于點(diǎn)M，過M作MN∥AO交折線ABC于點(diǎn)N，連接PN．設(shè)PE=x．△PMN的面積為S．
①求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請(qǐng)說明理由．若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）．現(xiàn)在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個(gè)單位的速度沿OC方向向右移動(dòng)，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)停止（如圖2）．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為E′D′G′H′；探究：在運(yùn)動(dòng)過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AO的長(zhǎng)和E為AO的中點(diǎn)求的OE的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠AOC=60°求的點(diǎn)E的坐標(biāo)即可．
（2）分當(dāng)0≤x≤1時(shí)、當(dāng)1＜x≤4時(shí)求的S的最大值即可；
（3）分當(dāng)0≤t≤2時(shí)、當(dāng)2＜x≤4時(shí)、當(dāng)4＜x≤5時(shí)三種情況利用梯形的面積公式求的面積與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式即可．

解答：解：（1）如圖1，ED⊥OD與D點(diǎn)，
∵AO=4，E為AO的中點(diǎn)，
∴AE=2，
∵∠AOC=60°
∴ED=1，OD=

3

∴E（1，

3

）；
                          
（2）①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，在梯形ABCD中，由AB∥OC，MN∥OA，得MN=AB=4，
過點(diǎn)P作PH⊥MN，垂足為H，
由MN∥AO得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°
由E、F是AB、DC邊的中點(diǎn)得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM，
∴PM=EG=

3

在Rt△PMH中，sin∠PMH=

PH

PM

，所以PH=PM•sin30°=

3

2

∴S△PMN=

1

2

PH•MN=

1

2

×4×

3

2

=

3

，
當(dāng)1＜x≤4時(shí)，S=-

1

4

3

X+

5

4

3

，
②若0≤x≤1時(shí)，S=

3

，
若1＜x≤4時(shí)，S=-

1

4

3

X+

5

4

3

∵-

1

4

3

＜0，
∴S隨X的增大而減小，
∴S不存在最大值，
∴綜上所述，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，S存在最大值，最大值為

3

；

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直角梯形E′D′G′H′落在等腰梯形內(nèi)部，這時(shí)重疊部分的面積即為直角梯形面積，
y=

1

2

×（2+3）×

3

=

5

2

3

（如圖1），
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=

1

2

（E′H′+D′G′）•D′E′=

1

2

×（4-t+5-t）×

3

=-

3

t+

9

2

3

，
當(dāng)4＜x≤5時(shí)，DC=5-t，DE=

3

（5-t）
∴y=

1

2

DC•DE=（5-t）×

1

2

×

3

（5-t）=

1

2

3

（5-t）²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合知識(shí)、直角梯形、等腰梯形的性質(zhì)及梯形的中位線定理的知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，但難度不算很大，此類題目通常出現(xiàn)在中考題的倒數(shù)第二個(gè)題目中．