Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為O，點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別為（0，8）、（3，4），AM的延長線交x軸于點(diǎn)B．點(diǎn)P為線段AO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)O沿OA方向以1個(gè)單位/秒的速度向A運(yùn)動(dòng)，正方形PCEF邊長為2（點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)E、F在y軸右側(cè)）．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）正方形PCEF的對(duì)角線PE所在直線的函數(shù)表達(dá)式為

 

 （用含t的式子表示），若正方形PCEF的對(duì)角線PE所在直線恰好經(jīng)過點(diǎn)M，則時(shí)間t為

 

秒．
（2）若正方形PCEF始終在△AOB內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，求t的范圍．
（3）在條件（2）下，設(shè)△PEM的面積為y，求y與t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線PE平行于y=x，再根據(jù)P點(diǎn)坐標(biāo)，可得函數(shù)解析式，根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，可得答案；
（2）根據(jù)E點(diǎn)坐標(biāo)在直線AB的下方，可得t的取值范圍；
（3）分類討論，0≤t≤1時(shí)，根據(jù)直線PM與CE，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得EQ的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；1＜t≤

16

3

時(shí)，根據(jù)直線PM與EF，可得E點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，可得EQ的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答：解：（1）y=x+t，1，
故答案為；y=x+t，1；
（2）設(shè)直線AM：y=kx+8，
將M（3，4）代入
k=-

4

3

，
∴直線AM：y=-

4

3

x+8，
將E（2，2+t）代入直線AM解析式得t=

10

3

∴0≤t≤

10

3

；
（3）①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，如圖一，連接PM交CE于Q點(diǎn)，
∵P（0，t），M（3，4）
∴直線PM：y=

4-t

3

x+t
∴Q（

6

4-t

，2+t）
∴EQ=2-

6

4-t

=

2-2t

4-t

∴y=

1

2

×EQ×|y_M-y_P|=

1

2

×

2-2t

4-t

×(4-t)=1-t；
         
 ②當(dāng)1＜t≤

10

3

時(shí)，如圖二，連接PM交EF于Q點(diǎn)，
同①得，直線PM：y=

4-t

3

x+t

∴Q（2，

8+t

3

）
∴EQ=2+t-

8+t

3

=

2t-2

3

∴y=

1

2

×EQ×|x_M-x_P|=

1

2

×

2t-2

3

×3=t-1；
綜上所述∴y=

1-t(0≤t≤1) t-1(1＜t≤ 10 3 )

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了平行線間的函數(shù)關(guān)系，（2）點(diǎn)與直線的關(guān)系，（3）三角形的面積和差是解題關(guān)鍵．