Question

2．如圖，直線y=-x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一支交于C（1，4），E兩點(diǎn)，CA⊥y軸于點(diǎn)A，EB⊥x軸于點(diǎn)B，則以下結(jié)論：①k的值為4；②△BED是等腰直角三角形；③S_△ACD=S_△BED；④S_△CBD=15；⑤點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0）．其中正確的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ②③④⑤
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 ①只需把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)的解析式，就可得到k和b的值；②易證OD=OF，從而可得∠ODF=45°，即可證到△BED是等腰直角三角形；③只需求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，就可求出△ACD和△BED的面積；④只需根據(jù)點(diǎn)C、B、D的坐標(biāo)就可求出△CBD的面積；⑤把y_D=0代入直線的解析式，就可解決問(wèn)題．

解答 解：①∵直線y=-x+b與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象的一支交于C（1，4），
∴4=-1+b，k=xy=1×4=4，故①正確；
②∵點(diǎn)D、F分別是直線y=-x+5與x軸、y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，5），
∴OD=OF=5．
∵∠DOF=90°，
∴∠ODF=45°．
∵EB⊥x軸，
∴△BED是等腰直角三角形，故②正確；
③解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴E的坐標(biāo)為（4，1），
∵AC=1，OA=4，OD=5，OB=4，
∴BD=1，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•OA=$\frac{1}{2}$×1×4=2，S_△BED=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
故③錯(cuò)誤；
④S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•OA=$\frac{1}{2}$×1×4=2，故④錯(cuò)誤；
⑤∵點(diǎn)D是直線y=-x+5與x軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（5，0），故⑤正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)、直線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，求出點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．