Question

已知二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x+m²-2．
（1）證明：不論m為何值，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)均在同一直線上，求出此直線的函數(shù)解析式；
（2）若二次函數(shù)圖象在x軸上截得的線段長(zhǎng)為4，求出此二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m-1，2m-3），
頂點(diǎn)坐標(biāo)在某一直線的圖象上，
即橫坐標(biāo)為x=m-1，
縱坐標(biāo)為y=2m-3=2（x+1）-3
y=2x-1．
故不論m為何值，二次函數(shù)的頂點(diǎn)都在直線y=2x-1上；

（2）設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x₁，0），B（x₂，0），
由已知|x₂-x₁|=4，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，得

又（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
∴16=4（m-1）²-4（m²-2）
解得：m=-
∴原二次函數(shù)的解析式為：y=x²+3x-．
分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，而其頂點(diǎn)坐標(biāo)為新函數(shù)上任意一點(diǎn)，即橫坐標(biāo)為x=m-1，縱坐標(biāo)為y=2m-3，整理即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之積與兩根之和的表達(dá)式，再將|x₂-x₁|=4兩邊平方，轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，解答即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，要求同學(xué)們有較強(qiáng)的分析能力．