【題目】如圖,在正方形ABCD中,點P是AB上一動點(不與A,B重合),對角線AC、BD相交于點O,過點P分別作AC、BD的垂線,分別交AC、BD于點E、F,交AD、BC于點M、N.下列結(jié)論:①△APE≌△AME;②PM+PN=AC;③△POF∽△BNF;④當(dāng)△PMN∽△AMP時,點P是AB的中點,其中一定正確的結(jié)論有_____.(填上所有正確的序號).
【答案】①②④.
【解析】
①根據(jù)正方形的每一條對角線平分一組對角可得∠PAE=∠MAE=45°,然后利用“角邊角”證明△APE和△AME全等;②根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得,同理,,證出四邊形PEOF是矩形,得出PF=OE,證得△APE為等腰直角三角形,得出AE=PE,PE+PF=OA,即可得到PM+PN=AC;
③判斷出△POF不一定等腰直角三角形,△BNF是等腰直角三角形,從而確定出兩三角形不一定相似;④證出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形,從而得出結(jié)論.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵PM⊥AC,
∴∠AEP=∠AEM=90°,
在△APE和△AME中,
,
∴△APE≌△AME(ASA),故①正確;
∴,
同理,.
∵正方形ABCD中,AC⊥BD,
又∵PE⊥AC,PF⊥BD,
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°,且△APE中AE=PE
∴四邊形PEOF是矩形.
∴PF=OE,
∵在△APE中,∠AEP=90°,∠PAE=45°,
∴△APE為等腰直角三角形,
∴AE=PE,
∴PE+PF=OA,
又∵,,,
∴PM+PN=AC,故②正確;
∵△BNF是等腰直角三角形,而△POF不一定是,
∴△POF與△BNF不一定相似,故③錯誤;
∵△AMP是等腰直角三角形,當(dāng)△PMN∽△AMP時,△PMN是等腰直角三角形.
∴PM=PN,
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形,
∴AP=BP,即P是AB的中點.故④正確.
故答案為:①②④.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點為中點.動點從點出發(fā),沿方向以每秒個單位長度的速度向終點運(yùn)動,點關(guān)于點對稱點為點,以為邊向上作正方形.設(shè)點的運(yùn)動時間為秒.
(1)當(dāng)_______秒時,點落在邊上.
(2)設(shè)正方形與重疊部分面積為,當(dāng)點在內(nèi)部時,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)正方形的對角線所在直線將的分為面積相等的兩部分時,直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,對角線BD平分∠ABC,且BD⊥DC,E為BC中點,AB=DE.
(1)求證:四邊形ABED是菱形;
(2)若∠C=60°,CD=4,求四邊形ABCD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電器專營店的經(jīng)營利潤受地理位置、顧客消費能力等因素的影響,某品牌電腦專營店設(shè)有甲、乙兩家分店,均銷售A、B、C、D四種款式的電腦,每種款式電腦的利潤如表1所示.現(xiàn)從甲、乙兩店每月售出的電腦中各隨機(jī)抽取所記錄的50臺電腦的款式,統(tǒng)計各種款式電腦的銷售數(shù)量,如表2所示.
表1:四種款式電腦的利潤
電腦款式 | A | B | C | D |
利潤(元/臺) | 160 | 200 | 240 | 320 |
表2:甲、乙兩店電腦銷售情況
電腦款式 | A | B | C | D |
甲店銷售數(shù)量(臺) | 20 | 15 | 10 | 5 |
乙店銷售數(shù)量(臺)8 | 8 | 10 | 14 | 18 |
試運(yùn)用統(tǒng)計與概率知識,解決下列問題:
(1)從甲店每月售出的電腦中隨機(jī)抽取一臺,其利潤不少于240元的概率為 ;
(2)經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲、乙兩店每月電腦的總銷量相當(dāng).現(xiàn)由于資金限制,需對其中一家分店作出暫停營業(yè)的決定,若從每臺電腦的平均利潤的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)對哪家分店作出暫停營業(yè)的決定?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐:折紙中的數(shù)學(xué)
問題情境:
在矩形中,=12,點、分別是、的中點,點、分別在、上,且=,將△沿折疊,點的對應(yīng)點為點,將△沿折疊,點的對應(yīng)點為點Q,且點、均落在矩形的內(nèi)部(如圖①).
數(shù)學(xué)思考:
(1)判斷與是否平行,并說明理由;
(2)當(dāng)長度是多少時,存在點,使四邊形是有一個內(nèi)角為60°的菱形(如圖②)?直接寫出的長度及菱形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角標(biāo)系中,拋物線C:y=與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點D為y軸正半軸上一點.且滿足OD=OC,連接BD,
(1)如圖1,點P為拋物線上位于x軸下方一點,連接PB,PD,當(dāng)S△PBD最大時,連接AP,以PB為邊向上作正△BPQ,連接AQ,點M與點N為直線AQ上的兩點,MN=2且點N位于M點下方,連接DN,求DN+MN+AM的最小值
(2)如圖2,在第(1)問的條件下,點C關(guān)于x軸的對稱點為E,將△BOE繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△B′O′E′,將拋物線y=沿著射線PA方向平移,使得平移后的拋物線C′經(jīng)過點E,此時拋物線C′與x軸的右交點記為點F,連接E′F,B′F,R為線段E’F上的一點,連接B′R,將△B′E′R沿著B′R翻折后與△B′E′F重合部分記為△B′RT,在平面內(nèi)找一個點S,使得以B′、R、T、S為頂點的四邊形為矩形,求點S的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,,直線.
(1)若該拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為,求該拋物線的頂點坐標(biāo);
(2)證明:該拋物線與直線必有兩個交點;
(3)若該拋物線經(jīng)過點,且對任意實數(shù),不等式都成立;當(dāng)時,該二次函數(shù)的最小值為.求直線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=6,點P在AB上,點Q在DC的延長線上,連接DP,QP,且∠APD=∠QPD,PQ交BC于點G.
(1)求證:DQ=PQ;
(2)求AP·DQ的最大值;
(3)若P為AB的中點,求PG的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)聯(lián)歡晚會傳承創(chuàng)新亮點多,收視率較往年大幅增長.成都高新區(qū)某學(xué)校對部分學(xué)生就2020年春晚的關(guān)注程度,采用隨機(jī)抽樣調(diào)査的方式,并根據(jù)收集到的信息進(jìn)行統(tǒng)計,繪制了如圖所示的兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖(其中A表示“非常關(guān)注”;B表示“關(guān)注”;C表示“關(guān)注很少”;D表示“不關(guān)注”).
請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)直接寫出m=______;估計該校1800名學(xué)生中“不關(guān)注”的人數(shù)是______人;
(2)在一次交流活動中,老師決定從本次調(diào)查回答“關(guān)注”的同學(xué)中隨機(jī)選取2名同學(xué)來談?wù)勊麄兊南敕ǎ敬握{(diào)查回答“關(guān)注”的這些同學(xué)中只有一名男同學(xué),請用畫樹狀圖或列表的方法求選取到兩名同學(xué)中剛好有這位男同學(xué)的概率.
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