Question

6．如圖，矩形AOBC，點A、B分別在x、y軸上，對角線AB、OC交于點D，點C（$\sqrt{3}$，1），點M是射線OC上一動點．
（1）求證：△ACD是等邊三角形；
（2）若△OAM是等腰三角形，求點M的坐標(biāo)；
（3）若N是OA上的動點，則MA+MN是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用點C坐標(biāo)，即可求出相應(yīng)角度，利用矩形性質(zhì)，即可求出三角形CDA兩個內(nèi)角度數(shù)為60°，即可證明三角形是等邊三角形．
（2）由等腰三角形性質(zhì)，對三角形OAM三邊關(guān)系進(jìn)行討論，分別求出三種情況下點M的坐標(biāo)即可；
（3）做點A關(guān)于直線OC對稱點，利用對稱性可以求出最小值．

解答 解：（1）∵C（$\sqrt{3}$，1），
∴AC=1，OA=$\sqrt{3}$，
∴OC=2，
∴∠COA=30°，∠OCA=60°，
∵矩形AOBC，
∴∠ABC=∠OCB=30°，
∴∠ADC=60°，
∴△ACD是等邊三角形；

（2）△OAM是等腰三角形，
當(dāng)OM=MA時，此時點M與點D重合，
∵C（$\sqrt{3}$，1），點D為OC中點，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
當(dāng)OM₁=OA時，做M₁E⊥OA，垂足為E，如下圖：

∴OM₁=OA=$\sqrt{3}$，
由（1）知∠M₁OA=30°，
∴M₁E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OE=$\frac{3}{2}$，
∴M₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
當(dāng)OA=AM₂時，做M₂F⊥OA，垂足為F，如上圖：
AM₂=$\sqrt{3}$，
由（1）知∠COA=∠AM₂O=30°，
∴∠M₂AF=60°，
∴AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，M₂F=$\frac{3}{2}$，
M₂（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
綜上所述：點M坐標(biāo)為M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）、（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）、（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

（3）存在，做點A關(guān)于直線OC對稱點為G，如下圖：

則AG⊥OC，且∠GOA=60°，OG=OA=$\sqrt{3}$，
∴ON=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GN=$\frac{3}{2}$，
∵點A、G關(guān)于直線OC對稱，
∴MG=MA，
∴MA+MN=MG+MN，
∵N是OA上的動點，
∴當(dāng)GN⊥x軸時，MA+MN最小，
∴存在MA+MN存在最小值，最小值為$\frac{3}{2}$．

點評 題目考查了一次函數(shù)綜合應(yīng)用，考查知識點包括：等腰三角形、線段最值、動點問題，解決此類題目關(guān)鍵是找到圖形變換的規(guī)律，題目整體較難．適合學(xué)生壓軸訓(xùn)練．