Question

16．如圖，已知A（-2，4）和B（1，0）都在拋物線$y=-\frac{4}{3}{x^2}-\frac{8}{3}x+4$
上，向右平移該拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，且四邊形AA′B′B為菱形．
（1）求A′、B′的坐標；
（2）求平移后的拋物線的表達式；
（3）設(shè)平移后的拋物線的對稱軸交直線AB′于點C，點D在x軸上，當△B′CD與△ABC相似時，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線向右平移了m個單位長度，用含m的代數(shù)式表示出A′和B′的坐標，根據(jù)菱形的判定定理可知BB′=AB，解出m的值，再代入A′和B′的坐標中即可；
（2）將平移前的拋物線的表達式變形成頂點式，由平移的性質(zhì)可知，只對稱軸在變，結(jié)合（1）的平移距離，即可得出結(jié)論；
（3）由A、B′的坐標找出直線AB′的表達式，結(jié)合平移后拋物線的對稱軸可得出C點的坐標，由AB=BB′可知∠BAC=∠CB′D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出比例關(guān)系$\frac{B′C}{AB}=\frac{B′D}{AC}$或$\frac{B′C}{AC}=\frac{B′D}{AB}$，由兩點間的距離公式可得出AC、B′C的長度，從而可得出B′D的長度，結(jié)合B′坐標即可得出D點坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線向右平移了m個單位長度，
則A′（m-2，4），B′（m+1，0）．
∵四邊形AA′B′B為菱形，
∴AB=BB′，
∵A（-2，4），B（1，0），
由兩點間的距離公式可知：AB=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+（0-4）^{2}}$=5，BB′=m，
∴m=5，m-2=3，m+1=6．
故點A′的坐標為（3，4），點B′的坐標為（6，0）．
（2）平移前拋物線表達式為y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4=-$\frac{4}{3}$（x+1）²+$\frac{16}{3}$，
其對稱軸為x=-1，
平移后拋物線的對稱軸為x=-1+5=4，
∴平移后的拋物線的表達式為y=-$\frac{4}{3}（x-4）^{2}+\frac{16}{3}$．
（3）依照題意畫出圖形，如圖所示．

設(shè)直線AB′的表達式為y=kx+b，
∵點A（-2，4），點B′（6，0），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{4=-2k+b}\\{0=6k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴直線AB′的表達式為y=-$\frac{1}{2}$x+3．
令x=4，則y=-$\frac{1}{2}$×4+3=1，
即點C的坐標為（4，1）．
由兩點間的距離公式可知：AC=$\sqrt{[4-（-2）]^{2}+（1-4）^{2}}$=3$\sqrt{5}$，B′C=$\sqrt{（6-4）^{2}+（0-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵AB=BB′=5，
∴∠BAC=∠CB′D，
∴△B′CD與△ABC相似有兩種情況．
①當△B′CD∽△ABC時，$\frac{B′C}{AB}=\frac{B′D}{AC}$．
∴B′D=$\frac{B′C•AC}{AB}$=3，
又∵點B′坐標為（6，0），
∴點D的坐標為（3，0）；
②當△B′DC∽△ABC時，$\frac{B′C}{AC}=\frac{B′D}{AB}$，
∴B′D=$\frac{B′C•AB}{AC}$=$\frac{5}{3}$，
又∵點B′坐標為（6，0），
∴點D的坐標為（$\frac{13}{3}$，0）．
綜上所述：點D的坐標為（3，0）或（$\frac{13}{3}$，0）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)．兩點間的距離公式以及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵：（1）得出關(guān)于平移m的一元一次方程；（2）找出平移后拋物線的對稱軸；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出B′D的長度．本題屬于中檔題，難度不大，解決該類題型題目時，根據(jù)題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合才能更便捷的解決問題．