Question

【題目】菱形ABCD中,兩條對角線AC、BD相交于點O,點E和點F分別是BC和CD上一動點,且∠EOF+∠BCD=180°，連接EF.

(1)如圖2,當∠ABC=60°時，猜想三條線段CE、CF、AB之間的數(shù)量關(guān)系___；

(2)如圖1,當∠ABC=90°時,若AC=4 ,BE=，求線段EF的長；

(3)如圖3,當∠ABC=90°,將∠EOF的頂點移到AO上任意一點O′處,∠EO′F繞點O′旋轉(zhuǎn),仍滿足∠EO′F+∠BCD=180°,O′E交BC的延長線一點E,射線O′F交CD的延長線上一點F,連接EF探究在整個運動變化過程中,線段CE、CF,O′C之間滿足的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）CE+CF=AB；（2）；（3）CFCE =O`C.

【解析】

（1）如圖1中，連接EF，在CO上截取CN=CF，只要證明△OFN≌△EFC，即可推出CE+CF=OC，再證明OC= AB即可．

（2）先證明△OBE≌△OCF得到BE=CF，在Rt△CEF中，根據(jù)CE +CF=EF即可解決問題．

（3）結(jié)論：CF-CE=O`C，過點O`作O`H⊥AC交CF于H，只要證明△FO`H≌△EOC，推出FH=CE，再根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)即可解決問題．

(1)結(jié)論CE+CF=AB.

理由：如圖1中，連接EF，在CO上截取CN=CF.

∵∠EOF+∠ECF=180°，

∴O、E. C. F四點共圓,

∵∠ABC=60°，四邊形ABCD是菱形，

∴∠BCD=180°∠ABC=120°，

∴∠ACB=∠ACD=60°，

∴∠OEF=∠OCF，∠OFE=∠OCE，

∴∠OEF=∠OFE=60°，

∴△OEF是等邊三角形，

∴OF=FE，

∵CN=CF,∠FCN=60°，

∴△CFN是等邊三角形，

∴FN=FC，∠OFE=∠CFN，

∴∠OFN=∠EFC，

在△OFN和△EFC中，

，

∴△OFN≌△EFC，

∴ON=EC，

∴CE+CF=CN+ON=OC，

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=60°，

∴∠CBO=30°，AC⊥BD，

在RT△BOC中,∵∠BOC=90°,∠OBC=30°，

∴OC=BC=AB,

∴CE+CF=AB.

(2)連接EF

∵在菱形ABCD中∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°,OB=OC,AB=AC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BCD=90°

∵∠EOF+∠BCD=180°，

∴∠EOF=90°，

∴∠BOE=∠COF

∴△OBE≌△OCF，

∴BE=CF，

∵BE=，

∴CF=，

在Rt△ABC中,AB+BC=AC,AC=4

∴BC=4，

∴CE= ，

在Rt△CEF中,CE+CF=EF，

∴EF=

答：線段EF的長為，

(3)結(jié)論：CFCE=O`C.

理由：過點O`作O`H⊥AC交CF于H，

∵∠O`CH=∠O`HC=45°，

∴O`H=O`C，

∵∠FO`E=∠HO`C,

∴∠FO`H=∠CO`E，

∵∠EO`F=∠ECF=90°，

∴O`.C. F. E四點共圓，

∴∠O`EF=∠OCF=45°，

∴∠O`FE=∠O`EF=45°，

∴O`E=O`F，

在△FO`H和△EO`C中，

，

∴△FO`H≌△EOC，

∴FH=CE，

∴CFCE=CFFH=CH=O`C.