Question

在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．
（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）探究：當∠CBD的度數(shù)為多少度時四邊形BFDE為菱形，并給予證明，求出此時AB：BC的值．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,平行四邊形的判定,菱形的判定

專題：

分析：（1）利用矩形性質(zhì)得出∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，進而得出△ABE≌△CDF，即可得出EB∥DF，EB=DF，即可得出答案；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得∠A=∠ABC=90°，根據(jù)角的和差，可得∠ABE的度數(shù)，根據(jù)折疊，可得∠ABE與∠EBD的關系，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠EBD與∠FDB的關系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得BF與DE的關系，可得證明結(jié)論；根據(jù)特殊角的正切值，可得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠C．
∴∠ABD=∠CDB，
由翻折知，∠ABE=∠EBD=

1

2

∠ABD，∠CDF=∠FDB=

1

2

∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，∠EBD=∠FDB，
在△ABE和△CDF中，

∠ABE=∠CDF AB=CD ∠A=∠C

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴EB=DF，
∵∠EBD=∠FDB，
∴EB∥DF，
∴四邊形EBFD為平行四邊形；
（2）當∠CBD=30°時四邊形BFDE為菱形，
證明：∵ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
∠CBD=30°，
∴∠ABD=60°．
∵折疊的性質(zhì)
∴∠ABE=∠EBD=30°，
四邊形BFDE為平行四邊形
∴BE∥DF，
∠FDB=∠EBD=30°，
∴∠FBD=∠FDB，
∴BF=DF
∴四邊形BFDE為菱形；
tan∠DBC=tan30°=

DC

BC

=

AB

BC

=

3

3

，
∴

AB

BC

=

3

3

．

點評：本題主要考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和平行四邊形的判定等知識，根據(jù)已知得出△ABE≌△CDF是解題關鍵；一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．