Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點D為AB延長線上一點，連接CD，∠AMC＝90°，AM交BC于點N，∠APB＝90°，AP交CD于點Q．

（1）求證：AN＝CQ；

（2）如圖，點E在BA的延長線上，且AD＝BE，連接EN并延長交CD于點F，求證：DQ＝EN；

（3）在（2）的條件下，當3AE＝2AB時，請直接寫出EN：FN的值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）25：3．

【解析】

（1）利用ASA證明△APN≌△CPQ，可得AN＝CQ；

（2）如圖2，連接BQ，證明△DBQ≌△EAN（SAS），可得DQ＝EN；

（3）設AE＝2x，AB＝3x，則BD＝2x，DC＝x，作輔助線，構(gòu)建直角三角形和相似三角形，證明△AHE∽△AMD和△DQA∽△ANC，得，設AH＝8m，AM＝20m，AN＝17m，再證明△EHN∽△FMN，可得結(jié)論．

解：（1）證明：∵∠APB＝90°

∴∠APN＝∠CPQ＝90°，

∴∠PNA+∠NAP＝∠NAP+∠CQP＝90°，

∴∠PNA＝∠CQP，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴AP＝PC，

∴△APN≌△CPQ（ASA），

∴AN＝CQ；

（2）證明：如圖2，連接BQ，

由（1）知：AP是BC的垂直平分線，

∴BQ＝CQ，

∵AN＝CQ，

∴AN＝BQ，

∵BQ＝CQ，

∴∠QBC＝∠QCB＝∠NAP，

∵∠PBA＝∠PAB＝45°，

∴∠QBA＝∠BAN，

∴∠DBQ＝∠NAE，

∵BD＝AE，

∴△DBQ≌△EAN（SAS），

∴DQ＝EN；

（3）∵3AE＝2AB，

∴設AE＝2x，AB＝3x，則BD＝2x，DC＝x，

如圖3，過E作EH⊥AM，交MA的延長線于H，

∴∠H＝∠AMD＝90°，

∴EH∥DC，

∴∠HEA＝∠CDA，

∴△AHE∽△AMD，

∴，

∵∠MAC＝∠CDA，∠ACN＝∠DAQ＝45°，

∴△DQA∽△ANC，

∴，

由（2）知：CQ＝AN，

∴，

∴AN＝CQ＝，

S△ADC＝，

，

AM＝，

∴，

∴設AH＝8m，AM＝20m，AN＝17m，

則MN＝3m，

∵EH∥FM，

∴△EHN∽△FMN，

∴．

故答案為：25：3．