【題目】閱讀材料:小明在學習二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如3+2=(1+)2.善于思考的小明進行了以下探索:設(shè)a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法.請你仿照小明的方法解決下列問題:
(1)當a,b,m,n均為正整數(shù)時,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分別表示a,b,得a=______________,b=________;
(2)利用所探索的結(jié)論,找一組正整數(shù)a,b,m,n填空:
________+________=(________+________)2;
(3)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均為正整數(shù),求a的值.
(4)試化簡.
【答案】m2+3n2 2mn 4 2 1、1
【解析】
(1) 根據(jù)完全平方公式運算法則,即可得出a、b的表達式;(2)首先確定好m、n的正整數(shù)值,然后根據(jù)(1)的結(jié)論即可求出a、b的值; (3)根據(jù)題意,4=2mn,首先確定m、n的值,通過分析m=2, n=1或者m=1, n=2,然后即可確定好a的值;(4)根據(jù)(3)的結(jié)論,求出答案.
(1)∵a+b=(m+n)2,∴a+b=m2+3n2+2mn,∴a=m2+3n2,b=2mn;(2)設(shè)m=1,n=1,∴a=m2+3n2=4,b=2mn=2,故答案為4、2、1、1;(3)由題意,得:a= m2+3n2,b=2mn,∵4=2mn,且m、n為正整數(shù),∴m=2,n=1或m=1,n=2,∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13,故a=7或13;(4)∵a=7,b=4,∴m=2,n=1,故==2+.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在學習了數(shù)軸后,小亮決定對數(shù)軸進行變化應用:
(1)應用一:已知點A在數(shù)軸上表示為,數(shù)軸上任意一點B表示的數(shù)為,則AB兩點的距離可以表示為 ;應用這個知識,請寫出當 時,有最小值為 .
(2)應用二:從數(shù)軸上取下一個單位長度的線段,第一次剪掉原長的,第二次剪掉剩下的,依次類推,每次都剪掉剩下的,則剪掉5次后剩下線段長度為 ;應用這個原理,請計算:.
(3)應用三:如圖,將一根拉直的細線看作數(shù)軸,一個三邊長分別為的三角形的頂點與原點重合,邊在數(shù)軸正半軸上,將數(shù)軸正半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上,負半軸的線沿的順序依次纏繞在三角形的邊上.
①如果正半軸的線纏繞了5圈,負半軸的線纏繞了3圈,求繞在點上的所有數(shù)之和;
②如果正半軸的線不變,將負半軸的線拉長一倍,即原線上的點的位置對應著拉長后的數(shù),并將三角形向正半軸平移一個單位后再開始繞,求繞在點且絕對值不超過100的所有數(shù)之和.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A的坐標為(﹣2,0),等邊三角形AOC經(jīng)過平移或軸對稱或旋轉(zhuǎn)都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x軸向右平移得到△OBD,則平移的距離是個單位長度;△AOC與△BOD關(guān)于直線對稱,則對稱軸是;△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DOB,則旋轉(zhuǎn)角度可以是度;
(2)連結(jié)AD,交OC于點E,求∠AEO的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若點P從點A出發(fā),以每秒2cm的速度沿折線A﹣B﹣C﹣A運動,設(shè)運動時間為t秒(t>0).
(1)若點P在BC上,且滿足PA=PB,求此時t的值;
(2)若點P恰好在∠ABC的角平分線上,求此時t的值;
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以1個單位長度的速度運動,動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動,過點P作PD∥BC,交AB于點D,連接PQ分別從點A、C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代數(shù)式分別表示:QB= , PD= .
(2)是否存在t的值,使四邊形PDBQ為菱形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.并探究如何改變Q的速度(勻速運動),使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形,求點Q的速度;
(3)如圖2,在整個運動過程中,求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀下面一段:
計算
觀察發(fā)現(xiàn),上式從第二項起,每項都是它前面一項的倍,如果將上式各項都乘以,所得新算式中除個別項外,其余與原式中的項相同,于是兩式相減將使差易于計算.
解:設(shè),①
則,②
②-①得,則.
上面計算用的方法稱為“錯位相減法”,如果一列數(shù),從第二項起每一項與前一項之比都相等(本例中是都等于),那么這列數(shù)的求和問題,均可用上述“錯位相減”法來解決.
下面請你觀察算式是否具備上述規(guī)律?若是,請你嘗試用“錯位相減”法計算上式的結(jié)果.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,∠ABC=45°,E、F分別在CD和BC的延長線上,AE∥BD,∠EFC=30°, AB=2.
求CF的長.
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