Question

在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線(xiàn)上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線(xiàn)AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是

 

； 此時(shí)

Q

L

=

 

；
（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（ I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．

Answer 1

分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN，此時(shí)

Q

L

=

2

3

；
（2）在CN的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CM₁=BM，連接DM₁．可證△DBM≌△DCM₁，即可得DM=DM₁，易證得∠CDN=∠MDN=60°，則可證得△MDN≌△M₁DN，然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM₁=BM，連接DM₁，可證△DBM≌△DCM₁，即可得DM=DM₁，然后證得∠CDN=∠MDN=60°，易證得△MDN≌△M₁DN，則可得NC-BM=MN．

解答：解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系 BM+NC=MN．
此時(shí) 

Q

L

=

2

3

． （2分）．
理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，
∴△MDN是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BDC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠NCD=90°，
∵DM=DN，BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，
∴DM=2BM，DN=2CN，
∴MN=2BM=2CN=BM+CN；
∴AM=AN，
∴△AMN是等邊三角形，
∵AB=AM+BM，
∴AM：AB=2：3，
∴

Q

L

=

2

3

；

（2）猜想：結(jié)論仍然成立． （3分）．
證明：在CN的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取CM₁=BM，連接DM₁．（4分）
∵∠MBD=∠M₁CD=90°，BD=CD，
∴△DBM≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，∠MBD=∠M₁CD，M₁C=BM，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=M₁N=M₁C+NC=BM+NC，
∴△AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，
∴

Q

L

=

2

3

；

（3）證明：在CN上截取CM₁=BM，連接DM₁．（4分）
可證△DBM≌△DCM₁，
∴DM=DM₁，（5分）
可證∠M₁DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M₁DN，
∴MN=M₁N，（7分）．
∴NC-BM=MN．（8分）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線(xiàn)的作法．