Question

如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點，連接AE，作BF⊥AE，垂足為H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求證：

（1）CG=BH；

（2）FC²=BF?GF；

（3）=．

 

Answer 1

【答案】

（1）△ABH≌△BCG，∴CG=BH   （2）△CFG∽△BFC，∴=，即FC²=BF?GF

（3）∵AB=BC，∴AB²=BG?BF（具體過程見解析）

【解析】

試題分析：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，

∴CG⊥BF，

∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，

∠BAH+∠ABH=90°，

∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，

AB=BC，

∴△ABH≌△BCG，

∴CG=BH；

（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，

∴△CFG∽△BFC，

∴=，

即FC²=BF?GF；   

（3）由（2）可知，BC²=BG?BF，

∵AB=BC，

∴AB²=BG?BF，

∴==，

即=．

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由垂足得出互余關(guān)系求角相等，由邊相等證明三角形全等，由角相等證明相似三角形，利用性質(zhì)解題．