Question

5．如圖，在正方形ABCD中，AB=8，Q是CD的中點(diǎn)，在CD上取一點(diǎn)P，使∠BAP=2∠DAQ，則CP的長(zhǎng)度等于（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 取BC的中點(diǎn)E，連接AE，作EF⊥AP，證明△ABE≌△AFE，得EF=BE=EC，得△EFP≌△ECP，得△ECP∽△ABE．即可求CP的長(zhǎng)度．

解答 解：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，作EF⊥AP，
則△ABE≌△ADQ，得EB=EC=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠EFA=∠EBA}\\{∠BAE=∠FAE}\end{array}\right.$，
得：△ABE≌△AFE，
∴∠AEB=∠AEF，
得EF=EB=EC，
∵PE=PE，
∴∠ECP=∠EFP=90°，
∴△EPC≌△EPF，
∴∠FEP=∠PEC，
∴∠AEP=∠AEF+∠FEP=90°，
∴∠PEF=∠PEC=∠EAP=∠EAB，
∴△CEP∽△BAE，
∴$\frac{PC}{EC}$=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
即PC=2，
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定，相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了正方形各邊相等，且各內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，本題求證△AEP是直角三角形是解本題的關(guān)鍵．