Question

9．已知：如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，CN∥AB，DN交AC于點(diǎn)M，MA=MC．
①求證：AD=CN；
②請?zhí)砑右粋�條件，使四邊形ADCN是矩形．并證明．

Answer 1

分析 ①根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角邊角”證明△AMD和△CMN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CN；
②先判定四邊形ADCN是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等即可得證，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形直接判斷即可．

解答 解：①∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AMD和△CMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠NCA}\\{MA=MC}\\{∠AMD=∠CMN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
②∠BAN=90°，
∵AD∥CN，AD=CN，
∴四邊形ADCN是平行四邊形，
∵∠BAN=90°，四邊形ADCN是平行四邊形，
∴四邊形ADCN是矩形．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形與矩形之間的關(guān)系，并由第一問求出四邊形ADCN是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．