Question

如圖，AB為圓O的直徑，點C是圓O上一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，線段AB與DC的延長線交于點P．
（1）求證：CD是圓O的切線；
（2）若PB=BO=1，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

考點：切線的判定,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根據(jù)切線的判定判斷即可；
（2）連接OE、BC，證得△OBC是等邊三角形，△OAE是等邊三角形，進而求得△APD、△OAE、△OPC、弧形EOC的面積，用S_△APD-S_△OAE-S_△OPC-S_弧EOC即可求得圖中陰影部分的面積；

解答：解：（1）連接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
又∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
又∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴CD是圓O的切線．

（2）連接OE、BC，
∵PB=BO=1，
∴BC=OB=BP，
∵OB=OC，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠OAD=60°，
∴△OAE是等邊三角形，
∴∠EOC=60°，
∵AP=3OB=3，
∴AD=

1

2

AP=

3

2

，PD=

3

2

AP=

3 3

2

，
∴S_△APD=

1

2

AD•PD=

1

2

×

3

2

×

3 3

2

=

9 3

8

，S_△OAE=

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，S_△OPC=

1

2

OC•PC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，S_弧EOC=

60π•OC2

360

=

π

6

，
∴陰影部分的面積=S_△APD-S_△OAE-S_△OPC-S_弧EOC=

9 3

8

-

3

4

-

3

2

-

π

6

=

3 3

8

-

π

6

；

點評：此題考查了切線的判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，直角三角函數(shù)的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．