Question

14．元旦假期，小明一家游覽我市倉(cāng)圣公園，公園內(nèi)有一假山，假山上有條石階小路，其中有兩段臺(tái)階的高度如下圖所示（圖中的數(shù)字表示每一級(jí)臺(tái)階的高度，單位：cm）．請(qǐng)你運(yùn)用你所學(xué)習(xí)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，解決以下問(wèn)題：

（1）把每一級(jí)臺(tái)階的高度作為數(shù)據(jù)，請(qǐng)從統(tǒng)計(jì)知識(shí)方面（平均數(shù)、中位數(shù)）說(shuō)一下有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？
（2）甲、乙兩段臺(tái)階哪段上行走會(huì)比較舒服？你能用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明嗎？
（3）為方便行走，公園決定修整這兩段臺(tái)階，在不改變臺(tái)階數(shù)量的前提下，應(yīng)該怎樣修改會(huì)比較好（在下圖上填一下）？并說(shuō)明一下你的方案的設(shè)計(jì)思路？

Answer 1

分析 （1）利用平均數(shù)計(jì)算公式、中位數(shù)解答即可；
（2）先求出方差，根據(jù)方差的大小再確定哪段臺(tái)階路走起來(lái)更舒服；
（3）要使臺(tái)階路走起來(lái)更舒服，就得讓方差變得更小．

解答 解：（1）將甲、乙兩臺(tái)階高度值從小到大排列如下，
甲：10，12，15，17，18，18；乙：14，14，15，15，16，16；
甲的中位數(shù)是：（15+17）÷2=16，平均數(shù)是：$\frac{1}{6}$（10+12+15+17+18+18）=15；
乙的中位數(shù)是：（15+15）÷2=15，平均數(shù)是：$\frac{1}{6}$（14+14+15+15+16+16）=15；
故兩臺(tái)階高度的平均數(shù)相同，中位數(shù)不同；
（2）${S}_{甲}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（10-15）²+（12-15）²+（15-15）²+（17-15）²+（18-15）²+（18-15）²]=$\frac{28}{3}$，
${S}_{乙}^{2}$=$\frac{1}{6}$[（14-15）²+（14-15）²+（15-15）²+（15-15）²+（16-15）²+（16-15）²]=$\frac{2}{3}$，
∵乙臺(tái)階的方差比甲臺(tái)階方差小，
∴乙臺(tái)階上行走會(huì)比較舒服；
（3）修改如下：

為使游客在兩段臺(tái)階上行比較舒服，需使方差盡可能小，最理想應(yīng)為0，同時(shí)不能改變臺(tái)階數(shù)量和臺(tái)階總體高度，
故可使每個(gè)臺(tái)階高度均為15cm（原平均數(shù)），使得方差為0．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了方差在實(shí)際生活中的應(yīng)用，方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．