Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC上的任意一點(diǎn)．
（1）過(guò)A、B、D三點(diǎn)作⊙O，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；
（2）若

DE

=

DB

，求證：AB是⊙O的直徑；
（3）在（2）的條件下，若AB=5，BC=6，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖

專(zhuān)題：

分析：（1）作AB與BD的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)O，點(diǎn)O就是△ABD的外心，⊙O交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E；
（2）連結(jié)DE，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，即可得到AD是等腰三角形ABC底邊上的高線(xiàn)，從而證明AB是⊙O的直徑；
（3）連結(jié)BE，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于AE的方程，解方程即可求解．

解答：（1）解：如圖1所示：


（2）證明：如圖2，連結(jié)DE，AD．

∵過(guò)A、B、D三點(diǎn)作⊙O，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，
∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓，
∴∠DEC=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠DEC=∠ACB，
∴DE=CD，
∵

DE

=

DB

，
∴DE=BD，
∴CD=BD，
∴AD⊥BC，
∴AB是⊙O的直徑；

（3）如圖3，連結(jié)BE．

∵AB是⊙O的直徑，
∴BE⊥AC，
由勾股定理可得，AB²-AE²=BC²-（AC-AE）²，即5²-AE²=6²-（5-AE）²，
解得AE=1.4．
故AE的長(zhǎng)是1.4．

點(diǎn)評(píng)：考查了作圖-復(fù)雜作圖，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的作法，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，方程思想的應(yīng)用．