Question

為了抓住世博會(huì)商機(jī)，某商店決定購(gòu)進(jìn)A，B兩種世博會(huì)紀(jì)念品，若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品10件，B種紀(jì)念品5件，需要1000元；若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品4件，B種紀(jì)念品3件，需要550元，
（1）求購(gòu)進(jìn)A，B兩種紀(jì)念品每件需多少元？
（2）若該商店決定拿出1萬(wàn)元全部用來(lái)購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品，考慮到市場(chǎng)需求，要求購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且不超過(guò)B種紀(jì)念品數(shù)量的8倍，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？
（3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤(rùn)30元，在第（2）問(wèn)的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

分析：（1）關(guān)系式為：A種紀(jì)念品10件需要錢數(shù)+B種紀(jì)念品5件錢數(shù)=1000；A種紀(jì)念品4件需要錢數(shù)+B種紀(jì)念品3件需要錢數(shù)=550；
（2）關(guān)系式為：A種紀(jì)念品需要的錢數(shù)+B種紀(jì)念品需要的錢數(shù)≤10000；購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量不少于B種紀(jì)念品數(shù)量的6倍，且不超過(guò)B種紀(jì)念品數(shù)量的8倍；
（3）計(jì)算出各種方案的利潤(rùn)，比較即可．

解答：解：（1）設(shè)A，B兩種紀(jì)念品每件需x元，y元．

10x+5y=1000 4x+3y=550

，
解得：

x=25 y=150

．
答：A，B兩種紀(jì)念品每件需25元，150元；

（2）設(shè)購(gòu)買A種紀(jì)念品a件，B種紀(jì)念品b件．

25a+150b=10000 6b≤a≤8b

，
解得

200

7

≤b≤

100

3

．
則b=29；30；31；32；33；
則a對(duì)應(yīng)為 226，220；214；208，202．
答：商店共有5種進(jìn)貨方案：進(jìn)A種紀(jì)念品226件，B種紀(jì)念品29件；或A種紀(jì)念品220件，B種紀(jì)念品30件；或A種紀(jì)念品214件，B種紀(jì)念品31件；或A種紀(jì)念品208件，B種紀(jì)念品32件；或A種紀(jì)念品202件，B種紀(jì)念品33件；

（3）解法一：方案1利潤(rùn)為：226×20+29×30=5390（元）；
方案2利潤(rùn)為：220×20+30×30=5300（元）；
方案3利潤(rùn)為：214×20+30×31=5210（元）；
方案4利潤(rùn)為：208×20+30×32=5120（元）；
方案5利潤(rùn)為：202×20+30×33=5030（元）；
故A種紀(jì)念品226件，B種紀(jì)念品29件利潤(rùn)較大為5390元．

解法二：解：設(shè)利潤(rùn)為W元，則W=20a+30b，
∵25a+150b=1000，
∴a=400-6b，
∴代入上式得：W=8000-90b，
∵-90＜0，
∴W隨著b的增大而減小，∴當(dāng)b=29時(shí)，W最大，即此時(shí)a=226時(shí)，W最大，
∴W_最大=8000-90×29=5390（元），
答：方案獲利最大為：A種紀(jì)念品226件，B種紀(jì)念品29件，最大利潤(rùn)為5390元．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到符合題意的相應(yīng)的關(guān)系式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意第二問(wèn)應(yīng)求得整數(shù)解．