【題目】已知:如圖①,ABC是等邊三角形,點D、E分別在邊ABBC上,且BD=BE,連接DE

(1)求證:DEAC;

(2)將圖①中的BDE繞點B順時針旋轉(zhuǎn),使得點A、DE在同一條直線上,如圖②,求∠AEC的度數(shù);

(3)在(2)的條件下,如圖③,連接CD,過點DDMBE于點M,在線段BM上取點N,使得∠DNE+DCE=180°.求證:ENEC=2MN

【答案】(1)證明見解析;(2)60°;(3)證明見解析

【解析】

(1)欲證明DEAC,只要證明DEB=∠C即可;

(2)通過“邊角邊”證明ABD≌△CBE,然后推出CEB=∠ADB=120°,即可解決問題;

(3)通過“角角邊”證明BDN≌△EDC,得到BN=CE,由DB=DE,DMBE,推出BM=EM,BN+MN=ENMN,推出CE+MN=ENMN,即ENEC=2MN.

解:(1)證明:如圖中,

∵△ABC是等邊三角形,

∴∠B=∠C=60°,

BD=BE,

∴△BDE是等邊三角形,

∴∠BED=60°,

∴∠C=∠BED

DEAC;

(2)如圖2中,

∵△ABC、△BDE都是等邊三角形,

BA=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°,

∴∠ABD=∠CBE,

ABDCBE中,

,

∴△ABD≌△CBE(SAS),

∴∠CEB=∠ADB,

∵∠ADB=180°﹣∠BDE=180°﹣60°=120°,

∴∠CEB=120°,

∴∠AEC=∠CEB﹣∠BED=120°﹣60°=60°;

(3)證明:如圖3中,

∵∠DNE+∠DCE=180°,∠DNE+∠DNB=180°,

∴∠DCE=∠DNB,

由(1)知BDE是等邊三角形,

BD=ED,∠DBE=60°,

由(2)知AEC=60°,

∴∠DBE=∠AEC,

BDNEDC中,

,

∴△BDN≌△EDC(AAS),

BN=CE,

DB=DE,DMBE,

BM=EM,即BN+MN=ENMN

CE+MN=ENMN,

ENEC=2MN

練習(xí)冊系列答案
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