Question

7．已知，如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，AE=BC，求證：AD=2CD．

Answer 1

分析 根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出∠BED=∠C=90°，AE=BE，AD=BD，求出∠A=∠EBD，BC=BE，證Rt△BED≌Rt△BCD，根據(jù)全等求出∠DBC=∠DBE，求出∠A=∠DBE=∠DBC，求出∠A=∠DBE=∠DBC=30°，即可得出答案．

解答 證明：連接BD，
∵斜邊AB的垂直平分線分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，
∴∠BED=∠C=90°，AE=BE，AD=BD，
∴∠A=∠EBD，
∵AE=BC，
∴BC=BE，
在Rt△BED和Rt△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BD}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），
∴∠DBC=∠DBE，
∵∠A=∠EBD，
∴∠A=∠DBE=∠DBC，
∵∠C=90°，
∴3∠A=90°，
∴∠A=∠DBE=∠DBC=30°，
∴AD=BD=2CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出Rt△BED≌Rt△BCD是解此題的關(guān)鍵．