Question

（2009•奉賢區(qū)一模）已知△ABC中，AB=AC=5，BC=8，點(diǎn)D在BC邊上移動(dòng)，連接AD，將△ADC沿直線AD翻折，此時(shí)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C₁，AC₁交邊BC于點(diǎn)E．
（1）當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到AC₁與BC垂直時(shí)，此時(shí)CD的長(zhǎng)為多少？
（2）設(shè)CD=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；
（3）在點(diǎn)D的移動(dòng)過(guò)程中，是否可以使得△EC₁D成為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)AC₁與BC垂直時(shí)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，有CE=BC=4，由勾股定理可求得AE=3，由于C₁D=CD，A₁C=AC，在Rt△C₁DE中，由勾股定理可求得ED的值，再求得CD的值；
（2）易證△ABE∽△D₁CE，得到AB：C₁D=AE：ED=BE：EC₁，先求得ED，再得到BE與CD的關(guān)系式；
（3）分兩種情況：當(dāng)C₁E=ED時(shí)和當(dāng)C₁E=C₁D時(shí)，可由（2）中的關(guān)系式求得．
解答：解：（1）∵AC₁與BC垂直，AB=AC=5，BC=8
∴CE=BC=4
在Rt△AEC中，AE==3
∵C₁D=CD，AC₁=AC=5，EC₁=AC₁-AE，ED=EC-CD
∴在Rt△EDC₁中，有ED²+EC₁²=C₁D²，即CD²=（5-3）²+（4-CD）²，
解得：CD=；

（2）
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠C₁=∠C
∴∠C₁=∠B
又∵∠AEB∠DEC₁
∴△AEB∽△DEC₁
∴AB：DC₁=AE：DE=BE：C₁E
∴5：C₁D=AE：（8-BE-CD）=BE：（5-AE）
∵BE=y，CD=C₁D=x
∴5：x=AE：（8-y-x）=y：（5-AE）
解得AE=，y=（0＜x＜4）；

（3）存在．
當(dāng)C₁E=ED時(shí)，由于△AEB∽△DEC₁，則有y=BE=AE=
∴y=
∴=
∴x=3；
當(dāng)C₁E=C₁D時(shí)，由于△AEB∽△DEC₁，則有y==BE=AB=5，
解得x=5-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)．