Question

如圖，y=-x+3交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A，B，C（1，0）三點．
（1）求拋物線解析式．
（2）若點D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線y=-x+3上有一點P使△ABO與△ADP相似，求出點P的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，且點P為第一象限內(nèi)的點，過點P作PM⊥y軸于點M，過點A作直線l平行于y軸，動點N從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度沿0-M-P運動，同時直線l從A點出發(fā)以相同的速度沿x軸向左平移，在平移過程中，直線l交x軸于點R，交線段BP或OP于點Q，當(dāng)點N達(dá)到P點時運動停止，在運動過程中，設(shè)動點N的運動時間為t秒，是否存在以P，Q，N為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先利用交點式得出y=a（x-1）（x-3），進(jìn)而得出a的值即可；
（2）根據(jù)題意分析①若△ABO∽△AP₁D，②若△ABO∽△ADP₂，進(jìn)而分別得出P點坐標(biāo)即可；
（3）分當(dāng)0≤t≤2時，當(dāng)2＜t≤3時，兩種情況討論得到以P，Q，N為頂點的三角形是等腰三角形的t的值．

解答：解：（1）由題意得出：A（3，0），B（0，3），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點，
∴設(shè)y=a（x-1）（x-3）（其中a≠0），
∴a×（-1）×（-3）=3，
∴拋物線解析式為：y=x²-4x+3；

（2）由題意可得，△ABO為等腰三角形，
①若△ABO∽△AP₁D，
則

AO

AD

=

BO

DP1

，
∴DP₁=AD=4．
∴P₁（-1，4）；
②若△ABO∽△ADP₂，過點P₂作P₂E⊥x軸于E，AD=4，
∵△ABO為等腰三角形，
∴△ADP是等腰三角形，
由“等腰三角形三線合一”可得，DE=AE=2=P₂E，即點E與點C重合，
∴P₂（1，2）

（3）當(dāng)0≤t≤2時，可得PN=PQ，t=1．
當(dāng)2＜t≤3時，
①可得QN=QP，t=

7

3

．
②可得QN=PQ，t=

7+ 5

4

．
③可得QN=NP，t=

16

7

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用以及等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．