Question

已知關于x的一元二次方程x²-3x+k-1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當此方程有兩個不為0的整數(shù)根時，將關于x的二次函數(shù)y=x²-3x+k-1的圖象向下平移2個單位，求平移后的函數(shù)圖象的解析式；
（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)圖象位于y軸左側(cè)的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象G．當直線y=5x+b與圖象G有3個公共點時，請你直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用根的判別式列出不等式求解得到k的取值范圍，再根據(jù)k為正整數(shù)解答；
（2）根據(jù)k的值分別對根的情況作出判斷，然后根據(jù)方程有兩個不為0的整數(shù)根確定出k值，再根據(jù)向下平移縱坐標減求解即可；
（3）求出直線與拋物線y軸右側(cè)部分有一個交點時的b的值，再求出直線與翻折的拋物線部分有一個交點時b的值，然后寫出b的取值范圍即可．

解答：解：∵方程有實數(shù)根，
∴△=（-3）²-4（k-1）≥0，
解得k≤

13

4

，
∵k為正整數(shù)，
∴k的值為1，2，3；

（2）當k=1時，x²-3x=0，
顯然，方程有一個根為0，
當k=2時，x²-3x+1=0，
△=（-3）²-4（2-1）=5，
方程有兩個不相等的實數(shù)根，
當k=3時，x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∵方程有兩個不為0的整數(shù)根，
∴k=3，
∴二次函數(shù)為y=x²-3x+2，
∵二次圖象向下平移2個單位，
∴平移后的函數(shù)圖象的解析式為y=x²-3x；

（3）當直線y=5x+b經(jīng)過點（0，0）時，b=0，
聯(lián)立

y=5x+b y=x2-3x

，
消掉y得，x²-8x-b=0，
兩函數(shù)圖象有一個交點時，△=（-8）²-4×1×（-b）=0，
解得b=-16，
翻折后的拋物線的解析式為y=-x²+3x，
聯(lián)立

y=-x2+3x y=5x+b

，
消掉y得，x²+2x+b=0，
兩函數(shù)圖象有一個交點時，△=2²-4×1×b=0，
解得b=1，
所以，直線y=5x+b與圖象G有3個公共點時，b的取值范圍為-16＜b＜1．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，兩函數(shù)圖象的交點問題，難點在于（3）求出直線與拋物線右側(cè)部分圖象有一個交點的情況，作出圖形更形象直觀．