Question

7．在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，連接CE，BF，CE與BF交于點(diǎn)M，且CE⊥BF，連接EF．
（1）如圖1，當(dāng)∠FEC=45°，EF=2$\sqrt{2}$時(shí)，①填空：BC=4$\sqrt{2}$；BF=6．
②求證：AB=AC；
（2）如圖2，當(dāng)∠FEC=30°，BC=8時(shí)，求CE和AB的長(zhǎng)度；
（3）如圖3，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，連接AC，BF，AC與BF交于點(diǎn)M，且BF⊥AC，連接AE，EF，AE與BF交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，求$\frac{GM}{MF}$的值．

Answer 1

分析 （1）①與點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，得到EF∥BC，BC=2EF=4$\sqrt{2}$，推出△BCM與△EFM是等腰直角三角形，解直角三角形得到BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=2，求得BF=BM+MF=6；②通過(guò)△BCE≌△CBF，由全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=4，解直角三角形得到CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=4$\sqrt{3}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理得到BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，即可得到結(jié)；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD=BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AF=BE，AF∥BE，推出四邊形ABEF是平行四邊形，于是得到AG=GE，證得△AFH≌△CEH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EH=FH，由三角形的中位線的性質(zhì)得到GH∥AF，GH=$\frac{1}{2}$AF，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{GM}{MF}=\frac{GH}{AF}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）①∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，BC=2EF=4$\sqrt{2}$，
∵∠FEC=45°，
∴∠BCM=45°，
∵CE⊥BF，
∴△BCM與△EFM是等腰直角三角形，
∴BM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=4，F(xiàn)M=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF=2，
∴BF=BM+MF=6；
故答案為：4$\sqrt{2}$，6；
②∵BM=CM，EM=FM，
∴∠MCB=∠MBC，BF=CE，
在△BCE與△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=BF}\\{∠ECB=∠FBC}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBF，
∴BE=CF，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴AB=AC；

（2）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵∠FEC=30°，
∴∠BCM=30°，
∵CE⊥BF，
∴∠BMC=∠EMF=90°，
∴CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=4$\sqrt{3}$，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF=2$\sqrt{3}$，
∴CE=6$\sqrt{3}$，BE=$\sqrt{B{M}^{2}+E{M}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴AB=2BE=4$\sqrt{7}$；

（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∴AG=GE，
∵AD∥BC，
∴∠FAH=∠ECH，
在△AFH與△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FAH=∠ECH}\\{∠AHF=∠CHE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CEH，
∴EH=FH，
∴GH∥AF，GH=$\frac{1}{2}$AF，
∴△GMH∽△AMF，
∴$\frac{GM}{MF}=\frac{GH}{AF}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，證得EF是△ABC的中位線是解題的關(guān)鍵．