Question

如圖所示．P是⊙O外一點(diǎn)．PA是⊙O的切線．點(diǎn)A是切點(diǎn)．B是⊙O上一點(diǎn)．

且PA = PB，連接AO、BO、PO、AB，并延長(zhǎng)BO與切線PA相交于點(diǎn)C．

（1）求證：PB是⊙O的切線 ；

（2）求證： AC · PC= OC · BC ； 

（3）設(shè)∠AOC =，若cos=，OC = 15 ，求AB的長(zhǎng)。

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明： ∵PA=PB，AO=BO，PO=PO

             ∴△APO≌△BPO        ∴∠PBO=∠PAO=90°

             ∴PB是⊙O的切線

       （2）證明：∵∠OAC=∠PBC=90°

                  ∴△CPB∽COA

∴    即AC·PC= OC·BC

       （3）解：cos==      ∴AO=12

            ∵△CPB∽COA     ∠BPC=∠AOC=

            ∴tan∠BPC==     ∴PB=36   PO=12

          ∵AB·PO= OB·BP        ∴AB=

【解析】（1）連接OP，與AB交于點(diǎn)C．欲證明PB是⊙O的切線，只需證明∠OBP=90°即可；

（2）根據(jù)相似三角形的判定定理AA證明△CPB∽△COA，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得，即AC·PC= OC·BC；

（3）在Rt△OAQ中根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)的余弦值的定義解得AO=12，利用△CPB∽COA求出PB=36，OP=12；然后由切線的性質(zhì)求AB的長(zhǎng)．