Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD為圓O的直徑，AB=AC，AD交BC于E，ED=2AE．
（1）求證：AB²=AD•AE；
（2）求∠ADB的度數；
（3）延長DB到F，使BF=BO，連接FA．求證：直線FA為⊙O的切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得△ABE∽△ADB，根據相似三角形的性質可得AB²=AD•AE；
（2）求∠ADB的度數，根據三角函數的定義易得tan∠BDA=，故∠BDA=30°；
（3）連接OA，證明OA⊥AF即可．
解答：（1）證明一：∵AB=AC，
∴，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAE=∠BAD，
∴△ABE∽△ADB，（2分）
∴=?AB²=AD•AE．（3分）
證明二：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，（1分）
又∵∠C=∠D=，
∴∠D=∠ABC，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴=?AB²=AD•AE．（3分）

（2）解：∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
又∵DE=2AE，
∴AE=AD，
∴AB²=AD•AD．
∴AB=AD．（4分）
∴，
∴tan∠BDA=．
故∠BDA=30°．（5分）

（3）證明一：連接OA，
∵OA=OD=OB，又∠D=30°，
∴∠AOB=60°，（6分）
又∵△AOB為正三角形，
∴∠OAB=60°，AB=OB，
∴∠AOB=60°，（7分）
∵FB=BO，
∴AB=BF，
∴∠FAB=30°，
∴∠FAO=∠FAB+∠BAO=30°+60°=90°．
即FA是⊙O的切線．（8分）
證明二：由前面證得△AOB為等邊三角形，
∴AB=BD=AO，
∵BF=BO，
∴，（6分）
∵∠FAD=90°，（7分）
∴AF是⊙O的切線．（8分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，角的大小及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．