Question

【題目】我們給出如下定義，如果一個(gè)四邊形有一條對(duì)角線(xiàn)能將其分成一個(gè)等邊三角形和一個(gè)直角三角形，那么這個(gè)四邊形叫做等垂四邊形，這條對(duì)角線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的等垂對(duì)角線(xiàn).

（1）已知是四邊形的等垂對(duì)角線(xiàn)，，均為鈍角，且比大，那么________.

（2）如圖，已知與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，、兩點(diǎn)分別在、邊上，，，.求證：四邊形是等垂四邊形。

Answer 1

【答案】（1）110°或150°；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意分∠D=90°與∠DCA=90°兩種情況，并利用四邊形內(nèi)角和定理求解即可；

（2）連接，先利用SAS證明，再證明是等邊三角形，最后利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形即可.

解：（1）或.

如圖1，當(dāng)∠D=90°時(shí)，設(shè)=x°，則=(x－10)°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得：

x+x－10+90+60=360，解得x=110，即110°；

如圖2，當(dāng)∠DCA=90°時(shí)，60°+90°=150°；

故答案為或.

（2）證明：如圖3，連接.

∵和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，

∴，，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴是等邊三角形，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴是直角三角形，

∴四邊形是等垂四邊形.