Question

如圖，已知Rt△ABC，以斜邊AB為斜邊作等腰Rt△ABD，連接CD，若AC=5，CD=

2

，則BC=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：以D為圓心，以CD為半徑畫弧，交BC于F，連接DF，求出∠BAD=45°，A、C、D、B四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠DCF=∠DAB=45°，推出∠CDA=∠FDB，根據(jù)SAS推出△ADC≌△BDF，求出BF=AC=5，由勾股定理求出CF=2，求出BC即可．

解答：解：
以D為圓心，以CD為半徑畫弧，交BC于F，連接DF，
∵∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠BAD=45°，A、C、D、B四點共圓，
∴∠DCF=∠DAB=45°，
∵CD=DF，
∴∠DFC=∠DCF=45°，
∴∠CDF=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠CDA=∠FDB=90°-∠ADF，
在△ADC和△BDF中

AD=BD ∠ADC=∠BDF CD=DF

∴△ADC≌△BDF，
∴BF=AC=5，
在Rt△CDF中，CD=DF=

2

，∠CDF=90°，由勾股定理得：CF=2，
∴BC=2+5=7，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB=

AC2+BC2

=

52+72

=

74

，
故答案為

74

．

點評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵求出BC的長，難點是能正確作出輔助線．