如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB,BC方向勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),

解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)為何值時(shí),△BPQ為直角三角形;
(2)設(shè)△BPQ的面積為S(cm2),求S與的函數(shù)關(guān)系式;
(3)作QR∥BA交AC于點(diǎn)R,連結(jié)PR,當(dāng)為何值時(shí),△APR∽△PRQ ?
(1)或3;(2);(3).

試題分析:(1)分兩種情況考慮:(i)當(dāng)PQ⊥BC時(shí),如圖所示,由速度是1厘米/秒,時(shí)間是t秒,利用速度×?xí)r間=路程表示出AP與BQ的長(zhǎng),再由AB-AP表示BP,由三角形ABC為等邊三角形,得到∠B=60°,在直角三角形BPQ中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;(ii)當(dāng)QP⊥AB時(shí),如圖所示,由速度是1厘米/秒,時(shí)間是t秒,利用速度×?xí)r間=路程表示出AP與BQ的長(zhǎng),再由AB-AP表示BP,由三角形ABC為等邊三角形,得到∠B=60°,在直角三角形BPQ中,利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到t的值,綜上,得到所有滿(mǎn)足題意的t的值.
(2)根據(jù)∠B為60°特殊角,過(guò)Q作QE⊥AB,垂足為E,則BQ、BP、高EQ的長(zhǎng)可用t表示,S與t的函數(shù)關(guān)系式也可求;
(3)由題目線(xiàn)段的長(zhǎng)度可證得△CRQ為等邊三角形,進(jìn)而得出四邊形EPRQ是矩形,由△APR∽△PRQ,可得出∠QPR=60°,利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值.
試題解析:(1)分兩種情況考慮:(i)當(dāng)PQ⊥BC時(shí),如圖1所示:

由題意可得:AP=tcm,BQ=2t厘米,BP=(6-t)厘米,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=60°,
在Rt△BPQ中,
,
解得:t=(秒);
(ii)當(dāng)QP⊥AB時(shí),如圖2所示:

由題意可得:AP=tcm,BQ=2t厘米,BP=(6-2t)厘米,
∵△ABC為等邊三角形,
∴∠B=60°,
在Rt△BPQ中,,即,
解得:t=3(秒),
綜上所述,t=或3時(shí),△BPQ為直角三解形;
(2)如圖3,過(guò)Q作QE⊥AB,垂足為E

由QB=2t,得QE=2t•sin60°=
由AP=t,得PB=6-t
∴S△BPQ=×BP×QE=(6-t)×=
(3)如圖4,∵QR∥BA,

∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形,
∴QR=RC=QC=6-2t,
∵BE=BQ•cos60°=×2t=t,
∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,
∴EP∥QR,EP=QR,
∴四邊形EPRQ是平行四邊形,
∴PR=EQ=
又∵∠PEQ=90°,
∴∠APR=∠PRQ=90°,
∵△APR∽△PRQ,
∴∠QPR=∠A=60°,
,即,
解得,
時(shí),△APR∽△PRQ.
考點(diǎn): 等邊三角形的性質(zhì);一元一次方程的應(yīng)用.
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(1)判斷的形狀,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)時(shí),試問(wèn):以、、為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,求出相應(yīng)的 的值?若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)為何值時(shí),相似?

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,則____________.

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D.EG=FH

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