Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)A在y軸正半軸上，矩形OABC的面積為8．把矩形OABC沿DE翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，點(diǎn)C落在第三象限的G點(diǎn)處，作EH⊥x軸于H，過E點(diǎn)的反比例函數(shù)y＝圖象恰好過DE的中點(diǎn)F．則k＝_____，線段EH的長為：_____．

Answer 1

【答案】-2 2

【解析】

連接BO與ED交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QG⊥x軸，垂足為G，可通過三角形全等證得BO與ED的交點(diǎn)就是ED的中點(diǎn)F，由相似三角形的性質(zhì)可得S△OGF＝S△OCB，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可求出k，從而求出S△OAE，進(jìn)而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由軸對稱的性質(zhì)可得OE＝BE，從而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根據(jù)△OAE的面積可以求出AE，OA的值．易證四邊形OAEH為矩形，從而得到EH＝OA，就可求出EH的值．

解：連接BO與ED交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸，垂足為N，如圖所示，

∵矩形OABC沿DE翻折，點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，

∴BQ＝OQ，BE＝EO．

∵四邊形OABC是矩形，

∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°．

∴∠EBQ＝∠DOQ．

在△BEQ和△ODQ中，

．

∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．

∴EQ＝DQ．

∴點(diǎn)Q是ED的中點(diǎn)．

∵∠QNO＝∠BCO＝90°，

∴QN∥BC．

∴△ONQ∽△OCB．

∴．

∴S△ONQ＝ S△OCB．

∵S矩形OABC＝8，

∴S△OCB＝S△OAB＝4．

∴S△ONQ＝．

∵點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F與點(diǎn)Q重合．

∴S△ONF＝．

∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)y＝上，

∴＝．

∵k＜0，

∴k＝﹣2．

∴S△OAE＝＝．

∵S△OAB＝4，

∴AB＝4AE．

∴BE＝3AE．

由軸對稱的性質(zhì)可得：OE＝BE．

∴OE＝3AE．OA＝＝2AE．

∴S△OAE＝AOAE＝×2AE×AE＝．

∴AE＝1．

∴OA＝2×1＝2．

∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°，

∴四邊形OAEH是矩形．

∴EH＝OA＝2．

故答案分別為：﹣2、2．