Question

如圖，拋物線y＝ax²＋b與x軸交于點A、B，且A點的坐標(biāo)為(1，0)，與y軸交于點C(0，1)．

(1)求拋物線的解析式，并求出點B坐標(biāo)；

(2)過點B作BD∥CA交拋物線于點D，連接BC、CA、AD，求四邊形ABCD的周長；(結(jié)果保留根號)

(3)在x軸上方的拋物線上是否存在點P，過點P作PE垂直于x軸，垂足為點E，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似？若存在請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，點B坐標(biāo)可由對稱性質(zhì)得到，或令y＝0，由解析式得到； 　　(2)關(guān)鍵是求出點D的坐標(biāo)，然后利用勾股定理分別求出四邊形ABCD四個邊的長度； 　　(3)本問為存在型問題．可以先假設(shè)存在，然后按照題意條件求點P的坐標(biāo)，如果能求出則點P存在，否則不存在．注意三角形相似有兩種情形，需要分類討論． 　　解答：解：(1)∵點A(1，0)和點C(0，1)在拋物線y＝ax2＋b上， 　　∴，解得：a＝－1，b＝1， 　　∴拋物線的解析式為：y＝－x2＋1， 　　拋物線的對稱軸為y軸，則點B與點A(1，0)關(guān)于y軸對稱，∴B(－1，0)． 　　[來源：學(xué)科網(wǎng)] 　　(2)設(shè)過點A(1，0)，C(0，1)的直線解析式為y＝kx＋b，可得： 　　，解得k＝－1，b＝1，∴y＝－x＋1． 　　∵BD∥CA，∴可設(shè)直線BD的解析式為y＝－x＋n， 　　∵點B(－1，0)在直線BD上，∴0＝1＋n，得n＝－1， 　　∴直線BD的解析式為：y＝－x－1． 　　將y＝－x－1代入拋物線的解析式，得：－x－1＝－x2＋1，解得：x1＝2，x2＝－1， 　　∵B點橫坐標(biāo)為－1，則D點橫坐標(biāo)為2， 　　D點縱坐標(biāo)為y＝－2－1＝－3，∴D點坐標(biāo)為(2，－3)． 　　如答圖①所示，過點D作DN⊥x軸于點N，則DN＝3，AN＝1，BN＝3， 　　在Rt△BDN中，BN＝DN＝3，由勾股定理得：BD＝； 　　在Rt△ADN中，DN＝3，AN＝1，由勾股定理得：AD＝； 　　又OA＝OB＝OC＝1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC＝BC＝； 　　∴四邊形ABCD的周長為：AC＋BC＋BD＋AD＝＋＋＋＝＋． 　　(3)假設(shè)存在這樣的點P，則△BPE與△CBD相似有兩種情形： 　　(I)若△BPE∽△BDC，如答圖②所示， 　　則有，即，∴PE＝3BE． 　　設(shè)OE＝m(m＞0)，則E(－m，0)，BE＝1－m，PE＝3BE＝3－3 m， 　　∴點P的坐標(biāo)為(－m，3－3 m)． 　　∵點P在拋物線y＝－x2＋1上， 　　∴3－3 m＝－(－m)2＋1，解得m＝1或m＝2， 　　當(dāng)m＝1時，點E與點B重合，故舍去；當(dāng)m＝2時，點E在OB左側(cè)，點P在x軸下方，不符合題意，故舍去． 　　因此，此種情況不存在； 　　(II)若△EBP∽△BDC，如答圖③所示， 　　則有，即，∴BE＝3PE． 　　設(shè)OE＝m(m＞0)，則E(m，0)，BE＝1＋m，PE＝BE＝(1＋m)＝＋m， 　　∴點P的坐標(biāo)為(m，＋m)．■ 　　∵點P在拋物線y＝－x2＋1上， 　　∴＋m＝－(m)2＋1，解得m＝－1或m＝，■ 　　∵m＞0，故m＝1舍去，∴m＝，■ 　　點P的縱坐標(biāo)為：＋m＝＋×＝，■ 　　∴點P的坐標(biāo)為(，)．■ 　　綜上所述，存在點P，使以B、P、E為頂點的三角形與△CBD相似，點P的坐標(biāo)為(，)． 　　點評：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等重要知識點．第(2)問的解題要點是求出點D的坐標(biāo)，第(3)問的解題要點是分類討論．

提示：

二次函數(shù)綜合題．