Question

如圖，Rt△AOB是一張放在平面直角坐標系中的直角三角形紙片，點O與原點重合，點A在x軸上，點B在y軸上，OB=，∠BAO=30度．將Rt△AOB折疊，使BO邊落在BA邊上，點O與點D重合，折痕為BC．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求經過B，C，A三點的拋物線y=ax²+bx+c的解析式；若拋物線的頂點為M，試判斷點M是否在直線BC上，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意易得∠OBC=∠DBC=30°，進而在Rt△COB可得C的坐標，又有B的坐標；進而可得BC的解析式；
（2）在Rt△AOB可得OA的長，即可得A的坐標；將ABC的坐標代入解析式方程可得abc的值，進而可得拋物線的解析式；將M的坐標代入判斷其是否在拋物線上．
解答：解：（1）∵∠OBC=∠DBC=∠OBA=×（90°-30°）=30°
∴在Rt△COB中，OC=OB•tan30°==1
∴點C的坐標為（1，0）（2分）
又點B的坐標為（0，）
∴設直線BC的解析式為y=kx+
∴0=k+，
∴k=-
則直線BC的解析式為：y=-x+；（4分）

（2）∵在Rt△AOB中，OA==3
∴A（3，0），
又∵B（0，），C（1，0）
∴（7分）
解之得：a=，b=-，c=
∴所求拋物線的解析式為y=x²-x+（8分）
配方得：y=（x-2）²-
∴頂點為（9分）
把x=2代入y=-x+，得：y=-≠-，
∴頂點M不在直線BC上．（10分）
點評：本題考查學生將二次函數的圖象與解析式相結合處理問題、解決問題的能力．