Question

如圖，△ABC中，AC=BC，以BC上一點(diǎn)O為圓心，OB為半徑作⊙O交AB于點(diǎn)D．已知經(jīng)過點(diǎn)D的⊙O切線恰好經(jīng)過點(diǎn)C．
（1）試判斷CD與AC的位置關(guān)系，并證明；
（2）若△ACB∽△CDB，且AC=4，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，則OD⊥CD；△OBD是等腰三角形．根據(jù)等腰三角形兩底角相等證明OD∥AC，從而確定AC與CD的位置關(guān)系；
（2）設(shè)CD=x，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，用含x的式子表示AB、AD．在Rt△ACD中運(yùn)用勾股定理求解．

解答：解：（1）CD⊥AC．（1分）
連接OD．
∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，（2分）
∵AC=BC，∴∠A=∠B，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，∴∠A=∠ODB，（3分）
∴AC∥OD，
∴∠ACD=∠CDO=90°，
∴CD⊥AC．（4分）

（2）∵△ACB∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，

BC

BD

=

AB

BC

．
∵∠A=∠B，∴∠B=∠BCD，
∴CD=BD，設(shè)CD=BD=x，（5分）
則AB=

BC2

BD

=

16

x

，
∴AD=AB-BD=

16

x

-x，（6分）
在Rt△ACD中，AD²=AC²+CD²
∴(

16

x

-x)2=16+x2，（7分）
∴x=

4 3

3

，
∴CD=

4 3

3

．（8分）

點(diǎn)評：此題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．