Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是y軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DP，將線段DP繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DE，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在拋物線上，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)M（m，n）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MD，把MD2表示成自變量n的函數(shù)，并求出MD2取得最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1+）；（3）MD2＝n2﹣n+4；點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ，）或（，）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及同角的余角相等，可證出△ODP≌△FED（AAS），由拋物線的解析式可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出OD的長度，利用全等三角形的性質(zhì)可得出EF的長度，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出DF，OP的長，結(jié)合點(diǎn)P在y軸正半軸即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出m2﹣2m＝3﹣n，根據(jù)點(diǎn)D，M的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得出MD2＝n2﹣n+4，利用配方法可得出當(dāng)MD2取得最小值時(shí)n的值，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出當(dāng)MD2取得最小值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖所示．

∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，

∴∠OPD＝∠FDE．

在△ODP和△FED中，，

∴△ODP≌△FED（AAS），

∴DF＝OP，EF＝DO．

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），

∴EF＝DO＝1．

當(dāng)y＝1時(shí)，﹣x2+2x+3＝1，

解得：x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，

∴DF＝OP＝1+，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1+）．

（3）∵點(diǎn)M（m，n）是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

∴n＝﹣m2+2m+3，

∴m2﹣2m＝3﹣n．

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），

∴MD2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+1+n2＝3﹣n+1+n2＝n2﹣n+4．

∵n2﹣n+4＝（n﹣）2+，

∴當(dāng)n＝時(shí)，MD2取得最小值，此時(shí)﹣m2+2m+3＝，

解得：m1＝，m2＝．

∴MD2＝n2﹣n+4，

當(dāng)MD2取得最小值時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）或（，）．