Question

在直角坐標平面中，O為坐標原點，二次函數(shù)y=-x²-2x+3的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，點D、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．
（1）求四邊形ABCD的面積；
（2）在y軸上找一點P，使△ABP是直角三角形，并求出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）設y=0，則y=-x²-2x+3=0，
解得：x=-3或1，
∵點A在點B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（1，0），
設x=0，則y=3，
∴C（0，3），
∵拋物線的對稱軸為x=-=-1，
∴D（-2，3），
∵點D、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
∴四邊形ABCD為梯形，
∴S_ABCD===6；
（2）如圖所示：依AB為直徑畫圓，交y軸于點P，
∵AB為圓的直徑，
∴∠APB=90°，
∴三角形APC是直角三角形，
∵OP⊥AB，
∴OP²=AO•BO=3×1=3，
∴OP=，
∴點P（0，）或（0，-）．
分析：（1）設y=0，解一元二次方程求出A、B兩點的坐標，令x=0，求出C的坐標，從而求出D的坐標，由題意可得四邊形ABCD為梯形，利用梯形的面積公式求出四邊形ABCD的面積；
（2）依AB為直徑畫圓，所畫圓于y軸的交點即為所求的點P，有射影定理（或三角形相似）即可求出P的坐標．
點評：本題考查了拋物線和坐標軸的交點以及梯形的面積公式以及圓周角定理，此題綜合性很強，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．