Question

如圖，EF與GH把正方形ABCD分成四個(gè)矩形，其中矩形PHCF的面積是矩形AEPG的面積的2倍，求證：HF=BH+DF．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：設(shè)BH=a，DF=b，正方形ABCD的邊長為1，則CH=1-a，CF=1-b，根據(jù)已知得出CH•CF=2BH•DF，即（1-a）（1-b）=2ab，得出1-（a+b）=ab，然后根據(jù)勾股定理得出HF²=CH²+CF²，即（1-a）²+（1-b）²=a²+2[1-（a+b）]+b²，進(jìn)而得出HF²=a²+2ab+b²=（a+b）²，即可證得結(jié)論．

解答：證明：設(shè)BH=a，DF=b，正方形ABCD的邊長為1，則CH=1-a，CF=1-b，
根據(jù)題意：CH•CF=2BH•DF，
即（1-a）（1-b）=2ab，
∴1-（a+b）=ab，
在RT△CFH中，HF²=CH²+CF²，
即（1-a）²+（1-b）²=a²+2[1-（a+b）]+b²，
∴HF²=a²+2ab+b²=（a+b）²，
∴HF²=（BH+DF）²
∴HF=BH+DF．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出1-（a+b）=ab是本題的根據(jù)．