Question

已知a、b均為整數(shù)，直線y=ax+b與三條拋物線y=x²+3，y=x²+6x+7和y=x²+4x+5交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是2，1，0，若bx²+ay²=6x，求x²+y²的最大值．

Answer 1

解：根據(jù)題意得，x²+3=ax+b，
x²+6x+7=ax+b，
x²+4x+5=ax+b，
∵直線與三條拋物線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是2，1，0，
∴△₁=a²-4×1×（3-b）=a²+4b-12＞0①，
△₂=（6-a）²-4×1×（7-b）=a²-12a+4b+8=0②，
△₃=（4-a）²-4×1×（5-b）=a²-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a²-12a+8）④，
④分別代入①、③得，，
整理得，
解得＜a＜3，
∵a是整數(shù)，
∴a=2，
∴4b=-（2²-12×2+8）=12，
解得b=3，
∴3x²+2y²=6x，
整理得，y²=≥0，
∴6x-3x²≥0，
整理得，3x（x-2）≤0，
或（無(wú)解），
解得0≤x≤2，
設(shè)Z=x²+y²，
=x²+，
=-x²+3x，
=-（x-3）²+，
∴當(dāng)x≤3時(shí)，函數(shù)值Z隨x的增大而增大，
當(dāng)x=2時(shí)，Z_最大值=-（2-3）²+=4，
即當(dāng)x=2時(shí)，x²+y²的最大值為4．
分析：把直線解析式與拋物線的解析式聯(lián)立得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系分別列式得到關(guān)于a、b的不等式與方程，把方程變形可得4b=-（a²-12a+8），分別代入不等式組成關(guān)于a的不等式組，求解得到a的取值范圍，再根據(jù)a、b是整數(shù)求出a、b的值，代入bx²+ay²=6x并用x表示出y²，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x的取值范圍，再把x²+y²寫成關(guān)于x的代數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出最大值即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，求出a、b的值并把x²+y²的整理成Z關(guān)于x的二次函數(shù)的形式是解題的關(guān)鍵．