Question

方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一個根．求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵x³+（1-3a）x²+2ax-2ax+x+a²-a=0，
∴x³-3ax²+2a²x+x²-（2a-1）x+a²-a=0，
∴x（x-a）（x-2a）+（x-a）[x-（a-1）]=0，
∴（x-a）[x²-（2a-1）x-（a-1）]=0，
∵方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一個根，
∴x²-（2a-1）x-（a-1）=0無解，
∴△=（2a-1）²+4（a-1）＜0，
∴4a²-3＜0，
∴-＜a＜．
分析：首先把方程分解因式變?yōu)椋▁-a）[x²-（2a-1）x-（a-1）]=0，由于方程x³+（1-3a）x²+2a²x-2ax+x+a²-a=0有且只有一個根，由此利用判別式即可求出a的取值范圍．
點評：此題主要考查了高次方程的解的問題，解題的關(guān)鍵是首先把方程分解因式，然后利用判別式即可求解．