在前面的學(xué)習(xí)中,我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較,根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式.
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法,使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

【研究速算】
提出問題:47×43,56×54,79×71,…是一些十位數(shù)字相同,且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?
幾何建模:
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積,以47×43為例:
(1)畫長為47,寬為43的矩形,如圖3,將這個47×43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,拼接到原矩形上面.
(2)分析:原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式:47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021.
用文字表述47×43的速算方法是:十位數(shù)字4加1的和與4相乘,再乘以100,加上個位數(shù)字3與7的積,構(gòu)成運算結(jié)果.
歸納提煉:
兩個十位數(shù)字相同,并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表述)______.
【研究方程】
提出問題:怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0(x>0)?
幾何建模:
(1)變形:x(x+2)=35.
(2)畫四個長為x+2,寬為x的矩形,構(gòu)造圖4
(3)分析:圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式,(x+x+2)2或四個長x+2,寬x的矩形面積之和,加上中間邊長為2的小正方形面積.
即(x+x+2)2=4x(x+2)+22
∵x(x+2)=35
∴(x+x+2)2=4×35+22
∴(2x+2)2=144
∵x>0
∴x=5
歸納提煉:求關(guān)于x的一元二次方程x(x+b)=c(x>0,b>0,c>0)的解.
要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖,并注明相關(guān)線段的長)
【研究不等關(guān)系】
提出問題:怎樣運用矩形面積表示(y+3)(y+2)與2y+5的大小關(guān)系(其中y>0)?
幾何建模:
(1)畫長y+3,寬y+2的矩形,按圖5方式分割
(2)變形:2y+5=(y+3)+(y+2)
(3)分析:圖5中大矩形的面積可以表示為(y+3)(y+2);陰影部分面積可以表示為(y+3)×1,畫點部分部分的面積可表示為y+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知(y+3)(y+2)>(y+3)+(y+2),即(y+3)(y+2)>2y+5
歸納提煉:
當(dāng)a>2,b>2時,表示ab與a+b的大小關(guān)系.
根據(jù)題意,設(shè)a=2+m,b=2+n(m>0,n>0),要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長)

【答案】分析:【研究速算】十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘,再乘以100,加上兩個個位數(shù)字的積,構(gòu)成運算結(jié)果;
【研究方程】畫四個長為x+b,寬為x的矩形,構(gòu)造答圖1,則圖中的大正方形面積有兩種不同的表達(dá)方式,由此建立方程求解即可;
【研究不等關(guān)系】畫長為2+m,寬為2+n的矩形,并按答圖2方式分割.圖中大矩形面積可表示為(2+m)(2+n),陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和.由圖形的部分與整體的關(guān)系可知,(2+m)(2+n)>(2+m)+(2+n),即ab>a+b.
解答:解:【研究速算】
歸納提煉:
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘,再乘以100,加上兩個個位數(shù)字的積,構(gòu)成運算結(jié)果.

【研究方程】
歸納提煉:
畫四個長為x+b,寬為x的矩形,構(gòu)造答圖1,則圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式:(x+x+b)2或四個長為x+b,寬為x的矩形面積之和,加上中間邊長為b的小正方形面積.

即:(x+x+b)2=4x(x+b)+b2
∵x(x+b)=c,
∴(x+x+b)2=4c+b2
∴(2x+b)2=4c+b2
∵x>0,
∴x=

【研究不等關(guān)系】
歸納提煉:
(1)畫長為2+m,寬為2+n的矩形,并按答圖2方式分割.

(2)變形:a+b=(2+m)+(2+n)
(3)分析:圖中大矩形面積可表示為(2+m)(2+n),陰影部分面積可表示為2+m與2+n的和.由圖形的部分與整體的關(guān)系可知,(2+m)(2+n)>(2+m)+(2+n),即ab>a+b.
點評:本題考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,利用數(shù)形結(jié)合思想建立了代數(shù)(速算、方程與不等式等)與幾何圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力,是一道好題.試題立意新穎,構(gòu)思巧妙,對于學(xué)生的學(xué)習(xí)大有裨益;不足之處在于題干篇幅過長,學(xué)生讀題并理解題意需要花費不少的時間,影響答題的信心.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

(2013•青島)在前面的學(xué)習(xí)中,我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較,根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式.
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法,使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

【研究速算】
提出問題:47×43,56×54,79×71,…是一些十位數(shù)字相同,且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?
幾何建模:
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積,以47×43為例:
(1)畫長為47,寬為43的矩形,如圖3,將這個47×43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,拼接到原矩形上面.
(2)分析:原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式:47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021.
用文字表述47×43的速算方法是:十位數(shù)字4加1的和與4相乘,再乘以100,加上個位數(shù)字3與7的積,構(gòu)成運算結(jié)果.
歸納提煉:
兩個十位數(shù)字相同,并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表述)
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘,再乘以100,加上兩個個位數(shù)字的積,構(gòu)成運算結(jié)果
十位數(shù)字加1的和與十位數(shù)字相乘,再乘以100,加上兩個個位數(shù)字的積,構(gòu)成運算結(jié)果

【研究方程】
提出問題:怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0(x>0)?
幾何建模:
(1)變形:x(x+2)=35.
(2)畫四個長為x+2,寬為x的矩形,構(gòu)造圖4
(3)分析:圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式,(x+x+2)2或四個長x+2,寬x的矩形面積之和,加上中間邊長為2的小正方形面積.
即(x+x+2)2=4x(x+2)+22
∵x(x+2)=35
∴(x+x+2)2=4×35+22
∴(2x+2)2=144
∵x>0
∴x=5
歸納提煉:求關(guān)于x的一元二次方程x(x+b)=c(x>0,b>0,c>0)的解.
要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖,并注明相關(guān)線段的長)
【研究不等關(guān)系】
提出問題:怎樣運用矩形面積表示(y+3)(y+2)與2y+5的大小關(guān)系(其中y>0)?
幾何建模:
(1)畫長y+3,寬y+2的矩形,按圖5方式分割
(2)變形:2y+5=(y+3)+(y+2)
(3)分析:圖5中大矩形的面積可以表示為(y+3)(y+2);陰影部分面積可以表示為(y+3)×1,畫點部分部分的面積可表示為y+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知(y+3)(y+2)>(y+3)+(y+2),即(y+3)(y+2)>2y+5
歸納提煉:
當(dāng)a>2,b>2時,表示ab與a+b的大小關(guān)系.
根據(jù)題意,設(shè)a=2+m,b=2+n(m>0,n>0),要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

通過前面的學(xué)習(xí),我們知道利用面積的不同表示方法可以寫出一個代數(shù)恒等式,比如圖1的圖形,我們可以把它看成長為(b+c),寬為a的長方形,則圖形的面積為
a(b+c)
a(b+c)
,我們也可以把它看成是兩個長方形組成的圖形,則此時,它的面積可以表示為
ab+ac
ab+ac
,所以我們可以得到等式
a(b+c)=ab+ac
a(b+c)=ab+ac

(1)圖2的圖形蘊涵著一個著名定理,請你運用面積不同的表達(dá)方式推導(dǎo)出這個定理.
(2)在圖3中,試畫一個幾何圖形,使它的面積能夠表示:(a+b)2=a2+2ab+b2(把圖形作在方格中)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013年初中畢業(yè)升學(xué)考試(山東青島卷)數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

在前面的學(xué)習(xí)中,我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較,根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式

這種利用面積關(guān)系解決問題的方法,使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。

【研究速算】

提出問題:47×43,56×54,79×71,……是一些十位數(shù)字相同,且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?

幾何建模:

用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積,以47×43為例:

(1)畫長為47,寬為43的矩形,如圖③,將這個47×43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,拼接到原矩形的上面。

(2)分析:原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式,47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021,用文字表述47×43的速算方法是:十位數(shù)字4加1的和與4相乘,再乘以100,加上個位數(shù)字3與7的積,構(gòu)成運算結(jié)果。

歸納提煉:

兩個十位數(shù)字相同,并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表述)        .

【研究方程】

提出問題:怎么圖解一元二次方程

幾何建模:

(1)變形:

(2)畫四個長為,寬為的矩形,構(gòu)造圖④

(3)分析:圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式,或四個長,寬的矩形之和,加上中間邊長為2的小正方形面積

即:

歸納提煉:求關(guān)于的一元二次方程的解

要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖,并標(biāo)注相關(guān)線段的長)

【研究不等關(guān)系】

提出問題:怎么運用矩形面積表示的大小關(guān)系(其中)?

幾何建模:

(1)畫長,寬的矩形,按圖⑤方式分割

(2)變形:

(3)分析:圖⑤中大矩形的面積可以表示為;陰影部分面積可以表示為,

畫點部分的面積可表示為,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知:,即

歸納提煉:

當(dāng),時,表示的大小關(guān)系

根據(jù)題意,設(shè),,要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖,并標(biāo)注相關(guān)線段的長)

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

在前面的學(xué)習(xí)中,我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較,根據(jù)圖1和圖2發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式.
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法,使抽象的數(shù)量關(guān)系因幾何直觀而形象化.

【研究速算】
提出問題:47×43,56×54,79×71,…是一些十位數(shù)字相同,且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式,是否可以找到一種速算方法?
幾何建模:
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積,以47×43為例:
(1)畫長為47,寬為43的矩形,如圖3,將這個47×43的矩形從右邊切下長40,寬3的一條,拼接到原矩形上面.
(2)分析:原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式:47×43的矩形面積或(40+7+3)×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和,即47×43=(40+10)×40+3×7=5×4×100+3×7=2021.
用文字表述47×43的速算方法是:十位數(shù)字4加1的和與4相乘,再乘以100,加上個位數(shù)字3與7的積,構(gòu)成運算結(jié)果.
歸納提煉:
兩個十位數(shù)字相同,并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是(用文字表述)______.
【研究方程】
提出問題:怎樣圖解一元二次方程x2+2x-35=0(x>0)?
幾何建模:
(1)變形:x(x+2)=35.
(2)畫四個長為x+2,寬為x的矩形,構(gòu)造圖4
(3)分析:圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式,(x+x+2)2或四個長x+2,寬x的矩形面積之和,加上中間邊長為2的小正方形面積.
即(x+x+2)2=4x(x+2)+22
∵x(x+2)=35
∴(x+x+2)2=4×35+22
∴(2x+2)2=144
∵x>0
∴x=5
歸納提煉:求關(guān)于x的一元二次方程x(x+b)=c(x>0,b>0,c>0)的解.
要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖,并注明相關(guān)線段的長)
【研究不等關(guān)系】
提出問題:怎樣運用矩形面積表示(y+3)(y+2)與2y+5的大小關(guān)系(其中y>0)?
幾何建模:
(1)畫長y+3,寬y+2的矩形,按圖5方式分割
(2)變形:2y+5=(y+3)+(y+2)
(3)分析:圖5中大矩形的面積可以表示為(y+3)(y+2);陰影部分面積可以表示為(y+3)×1,畫點部分部分的面積可表示為y+2,由圖形的部分與整體的關(guān)系可知(y+3)(y+2)>(y+3)+(y+2),即(y+3)(y+2)>2y+5
歸納提煉:
當(dāng)a>2,b>2時,表示ab與a+b的大小關(guān)系.
根據(jù)題意,設(shè)a=2+m,b=2+n(m>0,n>0),要求參照上述研究方法,畫出示意圖,并寫出幾何建模步驟(用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關(guān)線段的長)

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同步練習(xí)冊答案