Question

已知P（0，6），過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)y=

m

x

于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，直線(xiàn)AO交雙曲線(xiàn)y=

m

x

于另一點(diǎn)C，連結(jié)BC交y軸于Q，
（1）求m的值；  
（2）求

PA

PB

+

QB

QC

的值；   
（3）求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)直線(xiàn)AP是關(guān)系式是y=ax+6（a≠0）．由題設(shè)可設(shè)A（4，t），B（2，p）；然后根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征列出關(guān)于m、a、t、p的方程組，通過(guò)解方程組即可求得m的值；
（2）根據(jù)雙曲線(xiàn)的中心對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則C（-4，-2）．利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BC的關(guān)系式，從而得知點(diǎn)Q的坐標(biāo)；然后由兩點(diǎn)間的距離公式求得所求代數(shù)式中相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)直線(xiàn)AP、BC的解析式可以推知BC⊥AP，所以根據(jù)直角三角形的面積公式來(lái)求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵P（0，6），點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，
∴設(shè)直線(xiàn)AP是關(guān)系式是y=ax+6（a≠0），設(shè)A（4，t），B（2，p）．
又∵點(diǎn)A、B在雙曲線(xiàn)y=

m

x

上，點(diǎn)A、B在直線(xiàn)AP上，
∴

t= m 4 p= m 2 t=4a+6 p=2a+6

，
解得

t=2 p=4 a=-1 m=8

．
∴m的值是8；

（2）由（1）可知A（4，2），B（2，4）．
根據(jù)雙曲線(xiàn)的中心對(duì)稱(chēng)性知，點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則C（-4，-2）．
易求直線(xiàn)BC的解析式是y=x+2，則Q（0，2）．
∴QB=2

2

，QC=4

2

．
∵P（0，6），
∴PA=4

2

，PB=2

2

．
∴

PA

PB

+

QB

QC

=

4 2

2 2

+

2 2

4 2

=

5

2

；

（3）∵直線(xiàn)BC的解析式是y=x+2，直線(xiàn)AP是關(guān)系式是y=-x+6，
∴BC⊥AP，
又∵A（4，2），B（2，4），C（-4，-2），
∴AB=2

2

，BC=4

5

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=

1

2

×2

2

×4

5

=4

10

，即△ABC的面積是4

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了兩點(diǎn)間的距離公式，一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式．解答該題的技巧性在于根據(jù)反比例函數(shù)圖象的中心對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)C的坐標(biāo)．