【題目】在平面直角坐標系xOy中,正方形ABCD的頂點分別為A0,4)、B(﹣4,0)、C0,﹣4)、D4,0),對于圖形M,給出如下定義:點P為圖形M上任意一點,點Q為正方形ABCD邊上任意一點,如果P、Q兩點間的距離有最大值,那么稱這個最大值為圖形M的“正方距”,記作dM).

1)已知點E0,2),G(﹣1,﹣1).

①如圖1,直接寫出d(點E),d(點G)的值;

②如圖2,扇形EOF圓心角∠EOF=45°,將扇形EOF繞點O順時針旋轉(zhuǎn)α角(0<α<180°)得到扇形E'OF',當(dāng)d(扇形E'OF')取最大值時,求α角的取值范圍;

2)點P為平面內(nèi)一動點,且滿足d(點P=6,直接寫出OP長度的取值范圍.

【答案】1)①d(E)=6,d(G);②45°<α90°或135°<α180°;(22OP

【解析】

(1)①根據(jù)“正方距”的定義,d(E)=EC,d(G)=GA
②觀察圖象可知當(dāng)扇形OEFx軸的正半軸或y軸的負半軸有交點時,d(扇形EOF)取最大值,由此寫出α的范圍即可.
(2)如圖3中,分別以AB,C,D為圓心,6為半徑畫弧,得到圖中的4條弧(紅線),當(dāng)點P在圖中紅線上時,d(P)=6,求出OP的最大值以及最小值即可解決問題.

(1)①如圖1中,連接AG

由題意:d(E)=EC=6d(G)=GA

②觀察圖象可知當(dāng)扇形OE'F'x軸的正半軸或y軸的負半軸有交點時,d(扇形E'OF')取最大值,

所以45°<α90°或135°<α180°時,滿足條件.

(2)如圖3中,分別以A,BC,D為圓心,6為半徑畫弧,得到圖中的4條弧(紅線),當(dāng)點P在圖中紅線上時,d(P)=6,

設(shè)圖中P(m,m)

PB=6,

m2+(4+m)2=36,

解得:m=2或﹣2(舍棄),

P(2,﹣2),

OP的最大值=OPm=22

OP的最小值=OP'=2,

2OP≤﹣22

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【題目】打折前,買20A商品和30B商品要用2200元,買50A商品和10B商品要用2900元.若打折后,買40A商品和40B商品用了3240元,比不打折少花多少錢?

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2)如圖2,RtABC中,∠ACB90°AC6,BC8,點DAB的中點,點P在射線CD上,若點PABC的勾股點,則CP   ;

3)如圖3,四邊形ABDC中,DBDA,∠BCD45°,AC,CD3.則點D能否是ABC的勾股點,若能,求出BC的長:若不能,請說明理由.

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