Question

8．如圖，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB．折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重疊部分，…；將余下部分沿∠A_n-1B_n-1折疊，經(jīng)過n次折疊，若點(diǎn)B_n-1于點(diǎn)C重合，就稱∠ABC的n階“完美”角．
（1）△ABC中，∠B＞∠C，AB=3，若∠ABC是△ABC的3階“完美”角，且第三次折疊的折痕與AB平行，求出B₁B₂的長(zhǎng)；
（2）△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角都是某階段“完美”角，已知有一個(gè)角是2階“完美”角且每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均大于10的整數(shù)，直接寫出三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意∠B=90°，∠C=30°，∠BAC=60°，設(shè)B₁B₂=B₂A₂=A₂C=a，則CM=MB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，列出方程即可解決．
（2）假設(shè)∠A是2階“完美”角，∠A＞∠C≥∠B，由題意設(shè)∠B=y，∠C=ny，∠A=2ny（n為正整數(shù)），根據(jù)內(nèi)角和定理，以及∠A，∠B，∠C都是整數(shù)，可以得到n=1或3由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，AM為折痕，
∵A₂M⊥BC，AB∥A₂M，
∴∠B=90°，設(shè)∠C=x，則∠A₂B₂C=x，∠A₁A₂B₂=∠A₁B₁C=2x，
∴∠AA₁B₁=∠B=∠A₁B₁C+∠C，
∴3x=90°，
∴x=30°，
∴∠C=30°，∠BAC=60°，
在RT△ABB₁中，∵∠BAB₁=30°，AB=3，
∴BB₁=$\sqrt{3}$，又BC=3$\sqrt{3}$，
∴B₁C=2$\sqrt{3}$，設(shè)B₁B₂=B₂A₂=A₂C=a，則CM=MB₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴x+$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
x=3-$\sqrt{3}$．
（2）假設(shè)∠A是2階“完美”角，∠A＞∠C≥∠B，由題意設(shè)∠B=y，∠C=ny，∠A=2ny（n為正整數(shù)），
∵y+ny+2ny=180°，
∴y=$\frac{180°}{3n+1}$，
∵$\frac{180°}{3n+1}$＞10°
∴n＜$\frac{17}{3}$，
∵n為正整數(shù)，
∴n=1或2或3或4或5，
∵∠A，∠B，∠C都是整數(shù)，
∴n=1或3，
∴三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為45°，45°，90°或18°，54°，108°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查翻折不變性，理解題意是解決問題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)利用不等式，把問題轉(zhuǎn)化為求不等式的整數(shù)解，難度比較大，考查學(xué)生綜合利用知識(shí)的能力．