Question

△ABC中，∠A=a，

（1）若∠ABC，∠ACB的平分線相交于O，如圖（1），求∠BOC的度數(shù)；
（2）若∠ABC，∠ACB的外角平分線相交于O，如圖（2），求∠BOC的度數(shù)；
（3）若∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于O，如圖（3），求∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,三角形的角平分線、中線和高,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)∠A的度數(shù)，表示出另外兩角的和，然后求出它們和的一半，利用三角形內(nèi)角和定理求得即可；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)表示出兩個(gè)角的和，求出它們的一半，利用三角形內(nèi)角和定理表示出來即可；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)表示出兩角和的一半，用180°減去兩角和的一半即可．

解答：解：（1）∵∠A=a，
∴∠B+∠C=180°-a=180°-a，
∵OB、OC分別是∠ABC，∠ACB的平分線，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠B+∠C）=

1

2

（180°-a）
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-

1

2

（180°-a）=90°+

1

2

a；

（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB
=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=180°+∠A
=180°+a，
∵OB，OC分別是△ABC外角∠DBC，∠BCE的角平分線，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB）=

1

2

（180°+a），
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°-

1

2

a；

（3）∵∠ACE=∠A+∠ABC且BO，CO分別是△ABC內(nèi)角∠ABC與外角∠ACE的角平分線，
∴∠OCB+∠OBC=

1

2

∠ABC+∠ACB+

1

2

∠ACE=180°-

1

2

a，
∴∠O=180°-（∠OCB+∠OBC）
=180°-（180°-

1

2

a）
=

1

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．