Question

5．已知，在△ABC中，∠ABC和∠ACD的平分線相交于點O，
（1）若∠A=70°，則∠BOC=35°；
（2）若∠A=80°，則∠BOC=40°；
（3）試探索：∠BOC和∠A的關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCD，然后整理得到∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解；
（2）代入∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A求出即可；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根據(jù)角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCD，然后整理得到∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可得解．

解答 解：（1）由三角形外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠OBC+∠BOC，
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=70°，
∴∠BOC=35°，
故答案為：35°；

（2）由（1）知：∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠A=80°，
∴∠BOC=40°，
故答案為：40°；

（3）∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A；
理由是：由三角形外角性質(zhì)，∠ACD=∠A+∠ABC，∠OCD=∠OBC+∠BOC，
∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACD，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴$\frac{1}{2}$∠A+$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠BOC，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．

點評 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．