Question

在數(shù)學(xué)課上，張老師布置了一道課外作業(yè)題：要求同學(xué)利用正方形紙片制作一個(gè)圓錐的模型，
（1）甲同學(xué)認(rèn)為按如圖1剪下其中的扇形和小圓，就可以一個(gè)做側(cè)面，一個(gè)做底面，做成一個(gè)圓錐模型．
（2）乙同學(xué)認(rèn)為按如圖2剪下其中的扇形和小圓，就可以一個(gè)做側(cè)面，一個(gè)做底面，做成一個(gè)圓錐模型．
已知正方形的邊長為a，請你就甲、乙兩位同學(xué)的觀點(diǎn)談?wù)勀愕目捶ǎ�如果你認(rèn)為不對(duì)，請說明理由，如果你認(rèn)為正確，請求出扇形的底面半徑和母線長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算

專題：

分析：（1）設(shè)BD交

AC

于點(diǎn)E，求得DE的長，然后求出所作扇形的弧圍成的圓的直徑，與DE的長進(jìn)行比較即可；
（2）設(shè)出圓錐的母線長和底面半徑，讓扇形的弧長等于圓的底面周長，以及正方形的對(duì)角線長聯(lián)立構(gòu)成方程組，即可求得扇形的底面半徑和母線長．

解答：解：（1）甲同學(xué)的觀點(diǎn)不對(duì)，理由如下：
設(shè)BD交

AC

于點(diǎn)E，
DE=BD-BE=（

2

-1）a，

AC

=

90πa

180

=

1

2

πa，
由2πr=

1

2

πa，解得：r=

1

4

a，
則直徑是

1

2

a＞（

2

-1）a．
故甲同學(xué)的觀點(diǎn)不對(duì)；

（2）乙同學(xué)的觀點(diǎn)正確．求解過程如下：
設(shè)扇形的底面半徑即圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，
∵正方形的邊長為a，
∴正方形對(duì)角線長為

2

a，
則（1+

2

）r+R=

2

a①，
2πr=

2πR

4

②，
由①②，可得，r=

2

5+ 2

=

5 2 -2

23

a，R=4r=

20 2 -8

23

a．
故扇形的底面半徑為

5 2 -2

23

a，圓錐的母線長為

20 2 -8

23

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是得到圓錐底面半徑所在的正方形的對(duì)角線的表達(dá)式，難點(diǎn)是得到扇形的半徑．