Question

在數(shù)學課上，張老師布置了一道課外作業(yè)題：要求同學利用正方形紙片制作一個圓錐的模型，
（1）甲同學認為按如圖1剪下其中的扇形和小圓，就可以一個做側(cè)面，一個做底面，做成一個圓錐模型．
（2）乙同學認為按如圖2剪下其中的扇形和小圓，就可以一個做側(cè)面，一個做底面，做成一個圓錐模型．
已知正方形的邊長為a，請你就甲、乙兩位同學的觀點談談你的看法，如果你認為不對，請說明理由，如果你認為正確，請求出扇形的底面半徑和母線長．

Answer 1

考點：圓錐的計算

專題：

分析：（1）設BD交

AC

于點E，求得DE的長，然后求出所作扇形的弧圍成的圓的直徑，與DE的長進行比較即可；
（2）設出圓錐的母線長和底面半徑，讓扇形的弧長等于圓的底面周長，以及正方形的對角線長聯(lián)立構(gòu)成方程組，即可求得扇形的底面半徑和母線長．

解答：解：（1）甲同學的觀點不對，理由如下：
設BD交

AC

于點E，
DE=BD-BE=（

2

-1）a，

AC

=

90πa

180

=

1

2

πa，
由2πr=

1

2

πa，解得：r=

1

4

a，
則直徑是

1

2

a＞（

2

-1）a．
故甲同學的觀點不對；

（2）乙同學的觀點正確．求解過程如下：
設扇形的底面半徑即圓錐底面圓的半徑為r，圓錐的母線長為R，
∵正方形的邊長為a，
∴正方形對角線長為

2

a，
則（1+

2

）r+R=

2

a①，
2πr=

2πR

4

②，
由①②，可得，r=

2

5+ 2

=

5 2 -2

23

a，R=4r=

20 2 -8

23

a．
故扇形的底面半徑為

5 2 -2

23

a，圓錐的母線長為

20 2 -8

23

a．

點評：本題考查了圓錐的計算，解決本題的關(guān)鍵是得到圓錐底面半徑所在的正方形的對角線的表達式，難點是得到扇形的半徑．