【題目】如圖,已知直線l的解析式為y=x﹣1,拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)A(m,0),B(2,0),D(1,)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及A點(diǎn)的坐標(biāo),并在圖示坐標(biāo)系中畫出拋物線的大致圖象;

(2)已知點(diǎn) P(x,y)為拋物線在第二象限部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE垂直x軸于點(diǎn)E,延長(zhǎng)PE與直線l交于點(diǎn)F,請(qǐng)你將四邊形PAFB的面積S表示為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的函數(shù),并求出S的最大值及S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)將(2)中S最大時(shí)的點(diǎn)P與點(diǎn)B相連,求證:直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上.

【答案】(1)y=﹣x2x+2,(﹣4,0).見解析;(2)S的最大值是12,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,2);(3)見解析

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式,再根據(jù)A(m,0)在拋物線上,得到0=﹣m2m+2,解方程即可得到m的值,從而得到A點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)根據(jù)四邊形PAFB的面積S=ABPF,可得S=﹣(x+2)2+12,根據(jù)函數(shù)的最值可得S的最大值是12,進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

(3)根據(jù)待定系數(shù)法得到PB所在直線的解析式為y=﹣x+1,設(shè)Q(a,a﹣1)是y=x﹣1上的一點(diǎn),則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,1﹣a),將(a,1﹣a)代入y=﹣x+1顯然成立,依此即可求解.

解:(1)拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點(diǎn)B(2,0),D(1,),

,

解得a=﹣,b=﹣,

拋物線的解析式為y=﹣x2x+2,

A(m,0)在拋物線上,

0=m2m+2,

解得:m1=﹣4,m2=2(舍去),

A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣4,0).

如圖所示:

(2)直線l的解析式為y=x﹣1,

S=ABPF

=×6PF

=3(﹣x2x+2+1﹣x)

=﹣x2﹣3x+9

=﹣(x+2)2+12,

其中﹣4<x<0,

S的最大值是12,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,2);

(3)直線PB經(jīng)過點(diǎn)P(﹣2,2),B(2,0),

PB所在直線的解析式為y=﹣x+1,

設(shè)Q(a,a﹣1)是y=x﹣1上的一點(diǎn),

則Q點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,1﹣a),

將(a,1﹣a)代入y=﹣x+1顯然成立,

直線l上的任意一點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)一定在PB所在直線上.

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