Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=4a，E在BC上，BE=2a，∠BAD=120°，P點(diǎn)是對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則線段PE+PC和的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,菱形的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)，得知A、C關(guān)于BD對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，將PE+PC轉(zhuǎn)化為AP+PE，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得知AE為PE+PC的最小值．

解答：解：∵四邊形ABCD為菱形，
∴A、C關(guān)于BD對(duì)稱，
∴連AE交BD于P，
則PE+PC=PE+AP=AE，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AE的長(zhǎng)即為PE+PC的最小值．
∵∠BAD=120°，
∴∠ABE=∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
又∵BE=CE，
∴AE⊥BC，
∴AE=

(4a)2-(2a)2

=2

3

a．
故答案為：2

3

a．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱---最短路徑問(wèn)題，解答過(guò)程要利用菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題來(lái)解．