Question

7．如圖，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D．
（1）求證：BD=CD；
（2）過D作⊙O的切線交AC于E，若BC=4$\sqrt{3}$，AE=4，求sin∠AEO的值．

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得出AD⊥BC，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得結(jié)論；
（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OD⊥DE，根據(jù)中位線的性質(zhì)得出OD∥AC，進一步得出DE⊥AC，∠AEO=∠EOD，根據(jù)射影定理求得CE，然后根據(jù)勾股定理求得ED，進而求得OE，解直角三角形求得sin∠EOD的值，從而求得sin∠AEO的值．

解答 解：（1）連接AD，
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC；
（2）連接OD，
∵DE是⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∵OA=0B，BD=CD，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC，∠AEO=∠EOD，
在RT△ADC中，DE⊥AC，
∴CD²=AC•CE，
∵CD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，AE=4，
∴（2$\sqrt{3}$）²=（CE+4）•CE，解得CE=2，
∴AB=AC=4+2=6，
∴OD=3，
在RT△CDE中，ED=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
在RT△DOE中，OE=$\sqrt{E{D}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴sin∠EOD=$\frac{ED}{OE}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$，6
∴sin∠AEO=$\frac{2\sqrt{34}}{17}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角形中位線定理、勾股定理以及解直角三角形等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．