Question

10．如圖，在直角坐標(biāo)平面上，△AOB是直角三角形，點(diǎn)O在原點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，y₁）、（3，y₂），線段AB交y軸于點(diǎn)C．若S_△AOC=1，記∠AOC為α，∠BOC為β，則sinα•sinβ的值為$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，y₁）、（3，y₂），S_△AOC=1，可求得OD，OE，OC的長(zhǎng)，繼而求得△AOB的面積，求得OA•OB的值，又由三角函數(shù)的定義，即可求得答案．

解答 解：過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，y₁）、（3，y₂），
∴OD=1，OE=3，
∵S_△AOC=1，
∴$\frac{1}{2}$OC•OD=1，
∴OC=2，
∴S_Rt△AOB=S_△AOC+S_△BOC=1+$\frac{1}{2}$OC•OE=1+3=4，
∴$\frac{1}{2}$OA•OB=4，
∴OA•OB=8，
∵OA∥OC∥BE，
∴∠OAD=∠AOC=α，∠OBE=∠BOC=β，
∴sinα•sinβ=$\frac{OD}{OA}$•$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OD•OE}{OA•OB}$=$\frac{3}{8}$．
故答案為：$\frac{3}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了三角函數(shù)的定義、直角三角形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．